ArithmétiqueNotion · Glossaire
big bang numérique de Conway
Le big bang numérique de Conway désigne le caractère explosif d'une suite récréative construite par description orale de ses termes. En partant de 11, on lit chaque terme à voix haute et on écrit ce qu'on voit : 11 (deux 1) donne 21, puis 21 (un 2, un 1) donne 1211, et ainsi de suite. Le phénomène tient à la croissance extrêmement rapide de la longueur des termes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconstruire les premiers termes à partir de 11.
- Comprendre le rôle des groupes consécutifs.
- Distinguer une description de chiffres d'un calcul arithmétique.
- Relier la règle locale à la croissance rapide de la longueur des termes.
En clair
Imaginez que chaque nombre soit une petite phrase à lire. Le premier terme, 11, se lit « deux 1 » : on écrit donc 21. Le terme 21 se lit « un 2, un 1 » : il devient 1211. La règle ne demande pas de calculer une valeur ; elle décrit les chiffres présents, dans leur ordre.
Ce jeu de lecture produit pourtant des écritures de plus en plus longues. C'est cette expansion spectaculaire, et non une opération arithmétique particulière, qui justifie l'image du big bang numérique.
Définition
La suite de Conway, aussi appelée suite look-and-say, est une suite de chaînes de chiffres définie par lecture de chaque terme. On parcourt le terme de gauche à droite, on repère les groupes de chiffres identiques qui se suivent, puis on écrit pour chaque groupe son effectif suivi du chiffre observé. Le terme suivant conserve l'ordre des groupes.
En partant du terme 11, le groupe constitué de deux chiffres 1 donne 21. Dans 21, le groupe « 2 » est suivi du groupe « 1 » ; la lecture « un 2, un 1 » donne 1211. Dans 1211, les groupes sont « 1 », « 2 » et « 11 », donc la lecture « un 1, un 2, deux 1 » donne 111221.
Le terme de rang 27 mentionné par la définition source dépasse déjà deux mille chiffres. La croissance concerne ainsi la longueur de l'écriture produite par la règle de lecture ; elle ne signifie pas que les chiffres doivent être interprétés comme un entier dont on calculerait directement la valeur.
Un exemple, pas à pas
Prenons comme exemple conducteur le départ de la suite à 11. Chaque étape consiste à décrire les groupes consécutifs du terme courant, puis à écrire cette description sous forme de chiffres.
1. Le terme 11 forme un seul groupe : deux chiffres 1. Sa description s'écrit 21.
2. Le terme 21 contient d'abord un chiffre 2, puis un chiffre 1. Sa description s'écrit 1211.
3. Le terme 1211 contient un 1, un 2, puis deux 1. Sa description s'écrit 111221.
2. Le terme 21 contient d'abord un chiffre 2, puis un chiffre 1. Sa description s'écrit 1211.
3. Le terme 1211 contient un 1, un 2, puis deux 1. Sa description s'écrit 111221.
La figure met ces quatre termes en regard. Elle permet de suivre le passage de chaque écriture à la suivante en vérifiant séparément l'effectif et le chiffre de chaque groupe.
Le dernier passage se contrôle de la même manière : 111221 se lit « trois 1, deux 2, un 1 », et le terme suivant est donc 312211. La règle reste identique même lorsque le nombre de groupes et la longueur de l'écriture augmentent.
En pratique
Pour construire un terme à la main, il suffit de poser le doigt au début de l'écriture et de lire chaque groupe continu sans en changer l'ordre. On note d'abord combien de fois le même chiffre se répète, puis on note ce chiffre. On recommence avec le groupe suivant jusqu'à la fin du terme.
Avec 1211, on obtient trois groupes : un 1, un 2 et deux 1. Il faut donc écrire successivement 11, 12 et 21, ce qui donne 111221. Cette vérification locale évite de confondre la suite avec une addition ou une multiplication des chiffres.
À ne pas confondre
La suite de Conway n'est pas une suite obtenue en ajoutant toujours le même nombre au terme précédent. Le passage de 11 à 21 ne signifie pas « 11 + 10 » : 21 est la transcription de la phrase « deux 1 ». De même, 1211 n'est pas le résultat d'un calcul effectué sur 21 ; c'est la description ordonnée de ses deux chiffres.
Il ne faut pas non plus lire 1211 comme quatre chiffres indépendants. Les deux derniers 1 forment un seul groupe de longueur deux, ce qui explique le bloc 21 dans la description suivante. La notion porte sur les groupes consécutifs, pas seulement sur la fréquence totale de chaque chiffre dans le terme.
Limites et pièges
La description dépend de l'ordre de lecture. Dans 1211, les deux 1 terminaux sont consécutifs, alors qu'un 1 placé plus tôt appartiendrait à un autre groupe ; réunir des chiffres identiques séparés changerait le terme suivant. Une lecture qui compterait seulement le nombre total de 1 et de 2 ne respecterait donc pas la règle.
Le mot « nombre » peut prêter à confusion : dans cette construction, les termes sont écrits et lus comme des suites de chiffres. La croissance spectaculaire concerne leur longueur. L'affirmation sur le rang 27 est celle de la définition source ; elle caractérise l'explosion de l'écriture, sans fournir à elle seule une formule élémentaire donnant chaque longueur.
Enfin, la règle est déterminée seulement une fois le terme initial et la convention de lecture fixés. Modifier le départ ou la manière de regrouper les chiffres produit une autre suite ; il ne s'agit plus alors exactement de l'exemple commençant par 11.
Pour aller plus loin
Cette suite récréative offre un modèle simple de croissance émergente : une règle locale, appliquée à des groupes de chiffres, engendre des écritures dont la taille augmente très vite. Elle invite à distinguer la simplicité d'une procédure de la complexité de ses résultats.
La suite se situe ainsi à la rencontre des suites numériques et de la combinatoire. On peut prolonger l'étude en recensant les groupes à chaque étape, en comparant les longueurs des termes ou en examinant l'effet d'un terme initial différent, tout en conservant la même règle de lecture.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres