cadran horizontal

Sur une table plate posée à niveau, une tige inclinée projette une ombre qui tourne au fil de la course du Soleil. Les traits vers lesquels pointe cette ombre sont les lignes horaires. La ligne de midi suit le méridien local et sert de repère central.

La tige, appelée style ou gnomon, n'est pas inclinée au hasard : elle est parallèle à l'axe de la Terre. Son angle avec la table est donc la latitude du lieu. Aux latitudes non polaires, les lignes se resserrent ou s'écartent selon l'heure ; elles ne forment pas un éventail régulier.

Un cadran horizontal est un cadran solaire dont la table est un plan horizontal local. Son style, aussi nommé gnomon dans cette fiche, doit être parallèle à l'axe terrestre. Il appartient au plan du méridien local et forme avec la table un angle géométrique égal à la valeur absolue de la latitude du lieu, notée φ. La ligne de midi matérialise ce même méridien sur la table. Ces conditions concernent la géométrie et l'orientation du cadran, pas seulement son apparence. Pour placer une ligne horaire, on note H l'angle horaire du Soleil par rapport au méridien local. On note γ_H l'angle orienté de cette ligne avec la ligne de midi, en choisissant le même sens positif pour H et γ_H. Lorsque tan H est définie, la relation de tracé est :

Cette égalité de tangentes détermine la direction modulo 180°, la branche de γ_H étant fixée par la convention d'orientation. Pour H = 90° modulo 180°, où tan H n'est pas définie, la direction limite s'obtient par continuité. La latitude intervient donc dans chaque direction calculée. À la différence du cadran équatorial, des écarts égaux entre angles horaires ne donnent généralement pas des écarts égaux entre lignes sur la table. Le tracé dépend à la fois de l'heure considérée et du lieu d'installation.

On veut tracer une ligne horaire sur un cadran installé à la latitude φ = 45°. L'angle horaire choisi est H = 30°, mesuré depuis le méridien local dans le sens positif retenu. La ligne de midi est déjà tracée et le style est parallèle à l'axe terrestre. Un schéma géométrique peut alors matérialiser l'angle obtenu sur la table.

Les données sont donc :
1. φ = 45° ;
2. H = 30° ;
3. $\tan {\gamma }_H=\tan H\sin \phi \backslash tan\; \backslash gamma\_H\; =\; \backslash tan\; H\; \backslash ,\backslash sin\; \backslash varphi$.

Le calcul se déroule ainsi :
1. tan 30° = 1/√3 ;
2. sin 45° = √2/2 ;
3. tan γ_H = 1/√6 ≈ 0,408 248 ;
4. γ_H = arctan(1/√6) ≈ 22,2°.

La ligne cherchée fait donc environ 22,2° avec la ligne de midi, du côté fixé par le signe de H. Pour contrôler le résultat, on recalcule tan 22,2° ≈ 0,408 : cet arrondi est cohérent avec 1/√6.

Pour choisir le type de cadran, on observe d'abord le support. Une dalle ou une table réellement horizontale appelle un cadran horizontal ; sur un mur, un cadran vertical est l'alternative adaptée.

Pour installer le style, on utilise la latitude du lieu et la direction du méridien local. Hors des pôles, une simple tige dressée verticalement ne convient pas : le critère est son parallélisme avec l'axe terrestre.

Pour tracer les graduations, on calcule séparément chaque angle γ_H à partir de l'angle horaire H. Si l'objectif est au contraire d'obtenir des lignes séparées par des angles constants, le cadran équatorial fournit le modèle de comparaison pertinent.

Cadran horizontal et cadran équatorial. Sur le premier, la table est horizontale et l'espacement angulaire des lignes varie. Sur le second, des lignes horaires successives sont séparées par un angle constant. Un éventail régulier tranche donc en faveur du modèle équatorial.

Cadran horizontal et cadran vertical. Le critère est le plan qui porte les lignes horaires. Une table mise à niveau reçoit un cadran horizontal ; un support mural reçoit un cadran vertical, même si les deux utilisent un style orienté.

À la latitude 0°. La relation donne un angle γ_H nul pour toute valeur de H où la tangente est définie. Toutes les lignes calculées se confondent avec celle de midi : le cadran horizontal à style polaire est alors dégénéré et ce tracé ne permet plus de distinguer les heures.

À la latitude 90°. Le facteur sin φ vaut 1. Sur une branche où les angles sont choisis de façon cohérente, γ_H suit H : ce cas limite retrouve un espacement angulaire régulier.

Choix de la branche. Une valeur de tangente ne fixe une direction qu'à 180° près. Appliquer arctan sans conserver le signe de H ni la convention de côté peut placer une ligne dans le mauvais demi-plan ; il faut fixer le sens positif avant le calcul.

Table ou style mal réglés. La formule suppose une table horizontale, un style parallèle à l'axe terrestre et un alignement sur le méridien local. Si l'une de ces conditions manque, un calcul exact produit malgré tout un tracé inadapté au cadran installé.

cadran solaire — Replace le modèle horizontal dans la famille des instruments qui utilisent l'ombre du Soleil.

cadran équatorial — Montre le modèle dont les lignes horaires gardent un espacement angulaire constant.

cadran vertical — Prolonge la comparaison lorsque la surface disponible est un mur plutôt qu'un plan horizontal.