caquoïde

Imaginez la tranche d’un tunnel, observée de face. La caquoïde donne à cette ouverture un contour presque circulaire, mais légèrement dissymétrique : sa largeur et sa hauteur ne se répartissent pas exactement de la même manière autour du centre. Cette forme a été conçue comme une alternative au profil traditionnel en fer à cheval.

Pour la tracer, on fait varier un paramètre t, qui joue le rôle d’un angle parcourant la courbe. Une constante k règle l’échelle du dessin. Les coordonnées obtenues indiquent alors la position de chaque point du contour.

Une caquoïde est une courbe plane paramétrique destinée à modéliser la section transversale idéale d’un tunnel. Une courbe paramétrique est décrite par les coordonnées de ses points en fonction d’un paramètre ; ici, ce paramètre est noté t et représente un angle variable.

Pour une constante réelle k, les coordonnées du point associé à t sont données par :

Le paramètre vérifie t ∈ ]−π ; π]. La constante k fixe l’échelle : ses coordonnées ont la même unité que k. Les termes en sinus ajoutent une correction modérée au facteur cosinus de x, tandis que y conserve une dépendance sinusoïdale. Le choix de l’intervalle fournit le contour complet, avec une convention d’extrémité qui inclut π et exclut −π.

On choisit une échelle k = 10 et l’angle t = π/4. Comme sin(π/4) = √2/2 et cos(π/4) = √2/2, les données utiles sont k = 10, sin(t) = √2/2 et cos(t) = √2/2.

Le terme de correction vaut 1 + 0,1·√2/2 + 0,1·(√2/2)² = 1 + √2/20 + 1/20.

La première coordonnée vaut x(t) = 10·(√2/2)·(1 + √2/20 + 1/20) ≈ 7,925.

La seconde coordonnée vaut y(t) = 10·√2/2 ≈ 7,071.

Le point obtenu est donc environ (7,925 ; 7,071), dans la même unité que k. Un contrôle direct consiste à remplacer ces deux valeurs dans les expressions paramétriques et à retrouver les mêmes approximations, avec l’arrondi effectué seulement à la fin.

En conception de tunnel, la caquoïde fournit un profil théorique de section. Le geste consiste à calculer ou tracer les coordonnées de nombreux points, puis à relier ces points pour obtenir le contour proposé.

Pour une visualisation ou une étude géométrique, une représentation paramétrique est préférable à un simple cercle lorsque l’on veut conserver la légère dissymétrie introduite par les termes en sinus. Le critère observable est l’écart entre les points situés à des paramètres opposés.

La section en fer à cheval reste une autre convention de profil. Le choix dépend du modèle d’ingénierie étudié ; la caquoïde sert ici de modèle géométrique, et non de règle universelle de construction.

Caquoïde et cercle. Avec k = 10, les deux courbes passent par des points cardinaux de rayon 10, mais la caquoïde ne suit pas exactement le cercle entre ces points : pour t = π/4, elle donne x ≈ 7,925, alors qu’un cercle de rayon 10 donnerait x = y ≈ 7,071. Ce test numérique permet de les distinguer.

Caquoïde et section en fer à cheval. La première est une courbe paramétrée par des équations ; la seconde désigne une forme traditionnelle de section. L’opposition se tranche en vérifiant si le contour est défini par le paramétrage de la caquoïde ou par le profil en fer à cheval.

Le paramètre n’est pas une longueur. t varie dans ]−π ; π] et joue le rôle d’un angle, tandis que k règle l’échelle. Si l’on donne à t une unité de longueur ou si l’on change k sans changer les unités du dessin, le contour est mal interprété. Il faut conserver t comme paramètre angulaire et k dans l’unité des coordonnées.

Les extrémités de l’intervalle coïncident. Pour t = −π comme pour t = π, on obtient le même point (−k ; 0), car les sinus sont nuls et le cosinus vaut −1. L’intervalle prescrit exclut −π pour éviter de compter deux fois ce point ; il ne s’agit pas d’une discontinuité du contour.

Le signe de k compte. La source autorise une constante réelle. Pour k = 0, toutes les coordonnées sont nulles et la courbe se réduit à un point. Pour k négatif, le même facteur d’échelle s’accompagne d’une inversion centrale ; il faut donc préciser le signe de k avant de comparer deux tracés.

La caquoïde invite à étudier comment un paramétrage transforme une courbe de référence. En faisant varier k, on obtient des figures de même forme à des échelles différentes ; en observant les valeurs de t et leurs coordonnées, on peut ensuite analyser la symétrie, les tangentes et les propriétés locales du contour. Cette démarche relie la géométrie analytique au dessin technique, sans confondre un modèle mathématique avec une section effectivement construite.