ArithmétiqueNotion · Glossaire
chiffrement affine
Le chiffrement affine est une substitution monoalphabétique : après avoir numéroté les lettres d'un alphabet fini, il transforme chacune d'elles par une multiplication suivie d'un décalage, le tout modulo la taille de l'alphabet. La clé comporte donc deux entiers ; pour que chaque lettre chiffrée retrouve une unique lettre d'origine, le multiplicateur doit être premier avec la taille de l'alphabet. Ce procédé illustre simplement le rôle de l'arithmétique modulaire dans un chiffrement réversible, mais n'offre pas de sécurité réelle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Associer chaque lettre à un entier et appliquer la clé affine modulo 26.
- Chiffrer MATH en QIZR avec la clé (5, 8), puis contrôler le premier caractère par l'inverse 21.
- Reconnaître une clé non inversible et mesurer la faiblesse d'un espace limité à 312 clés.
- Distinguer le chiffrement affine d'une fonction affine réelle et d'une substitution quelconque.
En clair
Écrivez les lettres de A à Z, puis numérotez-les de 0 à 25. Pour brouiller un message, chaque nombre est multiplié par un même entier, décalé d'un autre entier, puis ramené entre 0 et 25. Le résultat désigne la lettre chiffrée.
Les deux entiers forment la clé. Le multiplicateur doit être choisi avec soin : s'il n'est pas premier avec 26, plusieurs lettres peuvent aboutir au même résultat et le message ne peut plus être déchiffré sans ambiguïté.
Définition
Le chiffrement affine est une substitution monoalphabétique appliquée aux 26 lettres numérotées de 0 pour A à 25 pour Z. La valeur de la lettre en clair est notée x, celle de la lettre chiffrée y. Les entiers a et b constituent la clé : a multiplie la valeur, tandis que b la décale. La réduction modulo 26 ramène le résultat dans l'alphabet.
La règle de chiffrement est . Pour que chaque lettre chiffrée corresponde à une seule lettre en clair, a doit être premier avec 26. Il existe donc 12 valeurs possibles pour a et 26 pour b, soit 312 clés. Si l'inverse multiplicatif de a modulo 26 est noté a−1, le déchiffrement suit .
Avec a = 1, seule la translation subsiste : c'est le chiffre de César. Avec a = −1 et b = 25, l'alphabet est renversé comme dans le code Atbash. Sur les 95 caractères ASCII imprimables, le même principe s'emploie modulo 95 plutôt que modulo 26.
Un exemple, pas à pas
Chiffrons le mot MATH. Les lettres sont numérotées A = 0, B = 1, …, Z = 25. La clé choisie est a = 5 et b = 8 ; elle est valide puisque 5 et 26 sont premiers entre eux. Les valeurs initiales sont M = 12, A = 0, T = 19 et H = 7.
Pour chaque valeur en clair x, on calcule la valeur chiffrée y :
1. Pour M : 5 × 12 + 8 = 68, dont le reste modulo 26 est 16, soit Q.
2. Pour A : 5 × 0 + 8 = 8, soit I.
3. Pour T : 5 × 19 + 8 = 103, dont le reste est 25, soit Z.
4. Pour H : 5 × 7 + 8 = 43, dont le reste est 17, soit R. La correspondance complète donne donc MATH → QIZR.
2. Pour A : 5 × 0 + 8 = 8, soit I.
3. Pour T : 5 × 19 + 8 = 103, dont le reste est 25, soit Z.
4. Pour H : 5 × 7 + 8 = 43, dont le reste est 17, soit R. La correspondance complète donne donc MATH → QIZR.
Pour contrôler le résultat, l'inverse de 5 modulo 26 vaut 21, car 5 × 21 = 105 et 105 laisse le reste 1. On applique alors :
Avec Q, de valeur 16, le calcul 21 × (16 − 8) = 168 laisse le reste 12 : on retrouve M. Le même contrôle redonne successivement A, T et H à partir de I, Z et R.
En pratique
Pour chiffrer à la main, on commence par fixer la numérotation de l'alphabet et une clé valide. On transforme ensuite chaque lettre séparément. Si le but est seulement de décaler les lettres, le chiffre de César, correspondant à a = 1, demande moins de calculs.
Pour vérifier un déchiffrement, on cherche l'inverse multiplicatif de a, puis on rechiffre une lettre retrouvée. Si aucune valeur ne vérifie a × a−1 ≡ 1 modulo 26, la clé choisie ne permet pas un déchiffrement unique.
Pour protéger réellement des données, l'espace de 312 clés est un signal d'alerte : toutes peuvent être essayées. Il faut alors préférer un chiffrement dont l'espace de clés résiste à une recherche exhaustive.
À ne pas confondre
Fonction affine sur les nombres réels. Elle associe généralement un nombre à ax + b sans réduction modulo 26. Dans le chiffrement affine, 27 et 1 représentent la même classe modulo 26 : le calcul revient toujours à une lettre.
Substitution monoalphabétique quelconque. Chaque lettre reçoit aussi un unique remplacement fixe, mais la permutation n'obéit pas nécessairement à une règle ax + b. Si les 26 correspondances ne proviennent d'aucune même paire (a, b), la substitution n'est pas affine.
Limites et pièges
Multiplicateur non inversible. Avec a = 2 et b = 0, A, de valeur 0, et N, de valeur 13, donnent toutes deux A après réduction modulo 26. Cette collision rend le déchiffrement ambigu. Il faut choisir a premier avec 26.
Espace de clés trop petit. Les 12 multiplicateurs admissibles et les 26 décalages ne produisent que 312 clés. Ce total permet une recherche exhaustive ; il ne faut donc pas employer ce système pour une confidentialité réelle.
Alphabet mal défini. La règle modulo 26 ne dit pas quoi faire des espaces, accents ou signes. Avant tout calcul, il faut fixer le jeu de caractères et leur numérotation. Pour les 95 caractères ASCII imprimables évoqués ici, le calcul se fait modulo 95.
Changer de modulo ne suffit pas. Passer de 26 à 95 élargit l'espace des clés, mais le multiplicateur doit encore être inversible dans ce nouveau modulo. Sans cette vérification, des caractères distincts peuvent à nouveau se confondre.
Pour aller plus loin
L'arithmétique modulaire explique les restes, les classes de nombres et l'existence des inverses qui rendent le déchiffrement possible. La substitution monoalphabétique replace la règle affine dans la famille plus large des alphabets de remplacement.
Le chiffre de César isole le cas où le multiplicateur vaut 1. Pour élargir la perspective, La cryptologie revisitée présente d'autres idées et enjeux liés au chiffrement.
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