cube de Roberval

Deux cubes peuvent avoir la même forme mais des masses différentes. Pour le constater, on place un cube sur un plateau d'une balance de Roberval. On ajoute alors des masses marquées sur l'autre plateau jusqu'à obtenir l'équilibre. La masse du cube se lit grâce à ces masses connues. En comparant plusieurs cubes, on observe aussi qu'un cube plus grand contient davantage de matière. Si les cubes sont faits du même matériau, cette activité relie les dimensions, le volume et la masse sans commencer par une formule abstraite.

Le cube de Roberval désigne une activité de mesure et de comparaison de masses. Chaque cube est pesé avec une balance de Roberval, en utilisant des masses marquées pour équilibrer le plateau qui porte le cube. La somme des masses placées en face fournit la masse mesurée du cube, avec la précision permise par l'instrument.

L'activité devient une introduction à la proportionnalité lorsque les cubes ont la même forme et sont constitués d'un matériau de masse volumique constante. Si a désigne le côté d'un cube, son volume est a³. La masse m est alors proportionnelle à ce volume :

Dans cette relation, ρ désigne la masse volumique constante du matériau, exprimée en masse par unité de volume. Elle ne permet pas de comparer directement des cubes fabriqués dans des matériaux différents. La balance et les masses marquées donnent d'abord une situation expérimentale ; la relation mathématique en interprète les résultats.

L'activité met en relation six éléments. Le cube est l'objet dont on mesure la masse. La longueur de son côté détermine son volume. La balance de Roberval fournit le dispositif de comparaison entre deux plateaux. Les masses marquées portent des valeurs connues et servent de référence. La masse mesurée est la somme des valeurs qui équilibrent le cube. Enfin, la densité relie la quantité de matière au volume lorsque le matériau reste constant.

Le côté du cube agit sur le volume, puis le volume agit sur la masse par l'intermédiaire de la densité. Les masses marquées dépendent donc du cube choisi : elles ne sont pas une partie du cube, mais l'étalon de comparaison. Ces données suffisent à construire une comparaison expérimentale et, sous l'hypothèse de densité constante, à vérifier une relation de proportionnalité.

On considère deux cubes du même matériau, dont les côtés mesurent respectivement 2 cm et 4 cm. Dans le modèle choisi, le premier a une masse de 16 g. La densité est supposée constante et les valeurs sont idéalisées pour vérifier le calcul.

Le côté du second cube est deux fois celui du premier.
Son volume est donc multiplié par 2³, soit 8.
Sa masse est alors multipliée par 8 : 16 g × 8 = 128 g.
La balance de Roberval doit donc être équilibrée par des masses marquées totalisant 128 g pour le second cube.

Le résultat se contrôle en comparant les rapports : le rapport des côtés vaut 4 ÷ 2 = 2, tandis que le rapport des masses vaut 128 ÷ 16 = 8. On retrouve bien 8 = 2³, ce qui vérifie la proportionnalité entre la masse et le volume dans l'hypothèse retenue.

En classe, l'activité commence par l'observation de cubes et la comparaison de leur taille. La balance de Roberval transforme ensuite la question « lequel est le plus massif ? » en une comparaison visible entre deux plateaux.

Pour obtenir une valeur, on utilise des masses marquées plutôt qu'une estimation à la main. L'équilibre indique que la masse du cube est égale à la somme des valeurs placées sur le plateau opposé, dans la limite de précision de la balance.

La comparaison de cubes du même matériau permet ensuite de discuter du volume et de la proportionnalité. Si les matériaux diffèrent, il faut comparer aussi leur densité avant d'interpréter l'écart de masse.

Mesurer une masse et comparer des volumes. Un cube plus grand n'est pas nécessairement plus massif si les matériaux n'ont pas la même densité. Le cas de deux cubes de même matériau tranche : le côté de 4 cm conduit à une masse huit fois plus grande que celui de 2 cm dans l'exemple idéal, car le volume et non le côté est proportionnel à la masse.

Masse et poids. La balance de Roberval compare ici des masses avec des masses marquées. Le poids est une force liée à la gravité ; dans une même situation gravitationnelle, cette distinction reste discrète, mais les grandeurs ne sont pas de même nature.

La densité n'est pas constante. Si deux cubes sont faits de matériaux différents, la relation $m=\rho a^{3}m\; =\; \rho a^3$ ne donne pas un rapport de masses égal au rapport des volumes. Le symptôme est une comparaison qui ne suit plus le facteur 2³ lorsque le côté double. Il faut alors tenir compte de la densité propre à chaque matériau.

La mesure n'est pas une identité parfaite. Un équilibre observé dépend de la précision de la balance et des masses disponibles. Une masse lue doit donc être donnée avec l'unité et la précision adaptées ; une petite différence inférieure à cette précision ne justifie pas de conclure à une différence réelle.

Le côté ne double pas la masse. Pour des cubes semblables de même matériau, doubler le côté multiplie le volume, et donc la masse dans le modèle, par 8. Confondre ce facteur avec 2 est le piège de calcul central de l'activité.

Le modèle peut être prolongé en séparant les trois grandeurs : le côté du cube, son volume et sa masse. Cette chaîne montre que la masse dépend cubiquement du côté (m est proportionnelle à a³), mais qu'elle est proportionnelle au volume lorsque la masse volumique reste constante. Elle fournit un pont entre manipulation, mesure et modélisation mathématique.