Cues Nicolas de

Imaginez un cercle dont on voudrait fabriquer un carré de même aire, uniquement avec une règle et un compas. Cette question, appelée quadrature du cercle, oblige à réfléchir au lien entre une figure courbe et une figure droite. Nicolas de Cues s'y intéressa parmi d'autres questions mathématiques, mécaniques et astronomiques.

Son œuvre ne se limite pas au calcul. La docta ignorantia, ou savante ignorance, invite à reconnaître les limites de ce que l'on peut connaître, tandis que la coïncidence des opposés rapproche des idées qui semblent contradictoires.

Nicolas Krebs, dit Nicolas de Cues ou Nicolaus Cusanus, est un philosophe, théologien et savant allemand né en 1401 et mort en 1464. Son profil est encyclopédique : il s'intéressa aux mathématiques, à la mécanique et à l'astronomie, en parallèle d'une carrière ecclésiastique qui le conduisit au rang de cardinal.

En mathématiques, la quadrature du cercle désigne le problème consistant à construire un carré de même aire qu'un cercle donné. Si le rayon du cercle est noté r, son aire s'écrit $A=\pi r^{2}A=\backslash pi\; r^2$ ; le côté du carré recherché devrait donc être $r\sqrt{\pi }r\backslash sqrt\{\backslash pi\}$. Cette écriture décrit l'égalité d'aires, mais elle ne fournit pas à elle seule une construction à la règle et au compas.

Nicolas de Cues travailla sur cette question et proposa aussi des réflexions sur l'infini qui annoncent certains développements ultérieurs de l'analyse. En philosophie, il est surtout connu pour la docta ignorantia et pour sa conception de la coïncidence des opposés. La source le présente ainsi à la fois comme acteur des sciences de son temps et comme penseur des limites de la connaissance.

Prenons un cercle de rayon 1, sans prétendre reconstituer une construction historique de Nicolas de Cues. Les données sont les suivantes : le rayon vaut r = 1 ; l'aire du cercle vaut $A=\pi r^{2}A=\backslash pi\; r^2$ ; le carré recherché doit avoir cette même aire.

Le calcul se déroule ainsi :
1. Le rayon est remplacé par sa valeur : $A=\pi \times 1^{2}A=\backslash pi\backslash times\; 1^2$.
2. Comme $1^2=11^2=1$, l'aire devient $A=\pi A=\backslash pi$.
3. Si le côté du carré est noté c, son aire vaut $c^{2}c^2$ ; l'égalité des aires impose donc $c^2=\pi c^2=\backslash pi$.
4. La longueur positive recherchée est $c=\sqrt{\pi }\approx \mathrm{1,77245}c=\backslash sqrt\{\backslash pi\}\backslash approx1\{,\}77245$.

Le carré a donc une aire $c^2=(\sqrt{\pi }{)}^2=\pi c^2=(\backslash sqrt\{\backslash pi\})^2=\backslash pi$, exactement celle du cercle. Le contrôle consiste à remettre le côté calculé au carré ; l'approximation 1,77245 ne donne qu'une aire approchée, alors que $c=\sqrt{\pi }c=\backslash sqrt\{\backslash pi\}$ conserve l'égalité exacte.

Pour aborder le travail mathématique de Nicolas de Cues, on peut partir d'une figure concrète : comparer l'aire d'un cercle et celle d'un carré. Le geste consiste à identifier la grandeur commune recherchée, puis à distinguer l'égalité d'aires de la possibilité effective de construire la figure.

Pour situer sa pensée, on peut ensuite mettre en regard une question de connaissance et une question de calcul. La docta ignorantia sert à formuler les limites du savoir, tandis que la quadrature du cercle fournit un problème géométrique précis.

Une lecture historique gagne enfin à garder ensemble ses domaines d'intérêt : mathématiques, mécanique, astronomie et carrière ecclésiastique. Cette approche évite de réduire le cardinal à un seul résultat ou le philosophe à une seule doctrine.

La quadrature du cercle ne se confond pas avec le simple calcul de l'aire d'un cercle. Si l'on connaît le rayon, la formule $A=\pi r^{2}A=\backslash pi\; r^2$ donne cette aire ; la quadrature demande en plus de construire un carré de même aire avec les instruments géométriques admis. Le cas qui tranche est donc la présence ou non d'une exigence de construction.

La docta ignorantia ne signifie pas une absence générale de savoir. Dans la source, elle désigne une doctrine philosophique, associée à la reconnaissance des limites de la connaissance. Un énoncé sur ce que l'on peut connaître relève donc de cette doctrine ; un calcul d'aire relève de la géométrie.

Une égalité d'aires ne suffit pas à établir une construction géométrique. Pour le cercle de rayon 1, le côté théorique du carré vaut $\sqrt{\pi }\backslash sqrt\{\backslash pi\}$, soit environ 1,77245 ; remplacer cette longueur par son arrondi produit seulement une aire approchée. Le symptôme est l'emploi d'un signe égal entre une valeur arrondie et une valeur exacte ; il faut écrire « environ » ou utiliser $\approx \backslash approx$.

La quadrature du cercle est ici présentée comme une question mathématique à laquelle Nicolas de Cues s'intéressa. La source ne permet pas d'attribuer à cet auteur une méthode précise de construction, ni de dater séparément chacune de ses réflexions sur l'infini. Il faut donc distinguer l'intérêt attesté pour un problème de la démonstration d'un résultat détaillé.

Enfin, annoncer que ses réflexions sur l'infini « annoncent » des développements ultérieurs de l'analyse ne revient pas à dire qu'il a fondé l'analyse moderne. Le bon réflexe consiste à conserver cette formulation de filiation prudente et à ne pas transformer une annonce historique en attribution directe.

Pour prolonger la réflexion, on peut comparer le problème de la quadrature du cercle à la question plus générale du rapport entre objets finis et infini mathématique. Le cercle de rayon 1 fournit un exemple concret : son aire est exactement $\pi \backslash pi$, mais une écriture décimale n'en donne qu'une approximation. Cette distinction aide à comprendre pourquoi un calcul numérique et une construction géométrique ne sont pas le même geste.