diagramme de Ferrers

Prenez sept cases et rangez-les en lignes de quatre, deux et une case, toutes calées sur le même bord. La silhouette obtenue est le diagramme de Ferrers de la partition 7 = 4 + 2 + 1. Chaque ligne montre une part de la somme et le nombre total de cases redonne l'entier partagé.

En comptant maintenant les cases colonne par colonne, on lit 3, 2, 1 et 1. Cette nouvelle liste forme la partition conjuguée : le dessin rend visible un changement de point de vue qui serait moins immédiat dans la seule écriture numérique.

Soit un entier naturel strictement positif noté n. Une partition de n est une liste finie d'entiers strictement positifs, rangés par ordre décroissant, dont la somme vaut n. Si cette liste est notée λ et contient k termes, ceux-ci sont notés λ₁, λ₂, jusqu'à λₖ. Les conditions s'écrivent :

Le diagramme de Ferrers associé comporte k rangées alignées sur un même bord ; la rangée numéro i contient λᵢ points ou cases. La taille des rangées décroît donc du haut vers le bas. Compter les cases de chaque colonne, dans le même ordre décroissant, donne une nouvelle partition du même entier : la partition conjuguée. Transposer une seconde fois le diagramme restitue la partition initiale. Selon les ouvrages, les rangées peuvent être alignées à gauche ou à droite, voire dessinées de bas en haut ; ces orientations changent l'apparence, pas les longueurs de rangées qui définissent la partition.

On rencontre ce dessin dans un cours ou un exercice sur les partitions d'entiers, en théorie des nombres et en combinatoire. Il se reconnaît à des rangées de points ou de cases, à leur alignement sur un bord commun, à leurs longueurs entières décroissantes et à l'absence de trou dans une rangée.

Le nombre total de marques porte l'entier partitionné. Les longueurs des rangées portent les termes de la partition, tandis que les hauteurs des colonnes portent ceux de la partition conjuguée. Des nombres inscrits dans les cases signalent plutôt une structure supplémentaire, comme un tableau de Young.

La grandeur principale à lire est la longueur de chaque rangée, mesurée en nombre de points ou de cases. 1. Repérez le bord d'alignement. 2. Comptez les marques de chaque rangée, du haut vers le bas dans la convention usuelle. 3. Additionnez ces longueurs pour retrouver l'entier partitionné. 4. Comptez les hauteurs des colonnes pour obtenir la partition conjuguée.

Une silhouette large peut sembler représenter un entier plus grand qu'une silhouette haute. Cette impression est trompeuse : seule compte la totalité des marques. Le bon réflexe consiste à contrôler la somme des longueurs de rangées. Si le dessin adopte une autre orientation, on conserve l'ordre décroissant des longueurs plutôt que de déduire l'ordre de la seule position visuelle.

On veut représenter la partition 7 = 4 + 2 + 1. Les données sont l'entier 7 et les trois parts déjà rangées dans l'ordre décroissant : 4, 2 et 1.

1. La première rangée reçoit quatre cases. La deuxième en reçoit deux et la troisième une, toutes alignées sur le même bord.

2. Le contrôle du total donne 4 + 2 + 1 = 7 cases : le diagramme représente bien une partition de 7.

3. Les quatre colonnes contiennent respectivement 3, 2, 1 et 1 cases. Elles donnent donc la partition conjuguée 7 = 3 + 2 + 1 + 1.

4. En échangeant encore lignes et colonnes, les longueurs redeviennent 4, 2 et 1. Ce second contrôle confirme que la conjugaison ramène au diagramme initial. La figure met en regard les deux silhouettes, chacune composée des mêmes sept cases.

Pour énumérer les partitions d'un petit entier, on dessine les formes possibles en imposant des rangées décroissantes, puis on vérifie le total des cases. Pour un entier plus grand, une méthode de dénombrement ou un calcul automatisé devient préférable dès que la liste des formes est difficile à contrôler visuellement.

Pour trouver une partition conjuguée, on compte directement les hauteurs de colonnes. Cette lecture graphique est souvent plus sûre qu'une nouvelle décomposition mentale, car le total de cases fournit aussitôt un contrôle.

Pour étudier seulement la forme d'une partition, le diagramme de Ferrers suffit. Si les cases doivent recevoir des nombres et respecter des règles de croissance, on emploie plutôt un tableau de Young, qui ajoute ces données à la même silhouette.

Une partition ordonnée. Dans une partition d'entier représentée par un diagramme de Ferrers, l'ordre des termes ne compte pas : 4 + 2 + 1 et 1 + 4 + 2 donnent la même forme après rangement. Dans une partition ordonnée, aussi appelée composition selon le contexte, ces deux écritures sont distinctes.

Un tableau de Young. Le diagramme de Ferrers ne retient que la forme faite de cases ou de points. Un tableau de Young remplit cette forme avec des symboles soumis à des conditions. Deux remplissages différents peuvent donc partager exactement le même diagramme de Ferrers.

Un diagramme en barres. Des barres peuvent représenter des mesures quelconques et leur ordre peut être significatif. Dans un diagramme de Ferrers, chaque longueur est un entier positif, les rangées sont rangées par taille et leur somme est l'entier partitionné.

L'entier zéro. Certaines conventions admettent une unique partition vide de 0 ; son diagramme ne contient aucune case. Comme rien n'est visible, il faut annoncer explicitement cette convention au lieu de prendre une page blanche pour une donnée manquante.

Des parts répétées. Dans la partition 6 = 2 + 2 + 2, trois rangées ont la même longueur. Elles restent trois parts distinctes de la liste ; il ne faut ni les fusionner en une rangée de six cases ni n'en garder qu'une.

Une orientation différente. Un dessin aligné à droite ou construit de bas en haut peut être valide si sa convention est annoncée. Pour comparer deux diagrammes, relevez d'abord la suite décroissante des longueurs au lieu de comparer leur position dans la page.

Conjuguer n'est pas seulement faire pivoter. La partition conjuguée s'obtient en échangeant le rôle des rangées et des colonnes, c'est-à-dire par transposition de la forme. Une rotation isolée peut inverser les bords d'alignement ; recomptez les longueurs pour vérifier le résultat.

La forme de Ferrers ouvre sur plusieurs objets voisins, à condition de bien distinguer ce qui est ordonné, dessiné ou inscrit dans les cases.

Partition ordonnée — Pour mesurer précisément ce que change la prise en compte de l'ordre des parts.

tableau de Young — Pour passer de la silhouette d'une partition à des cases remplies sous contraintes.

analyse combinatoire — Pour situer les partitions parmi les méthodes de dénombrement des configurations discrètes.