Droite graduée

Imaginez une règle qui se prolonge sans fin dans les deux sens. On choisit un point pour zéro, une distance pour une unité et un sens dans lequel les nombres augmentent. Les nombres positifs se placent de ce côté, les négatifs de l’autre.

Chaque position correspond alors à un nombre appelé abscisse. Les points situés entre deux graduations entières représentent aussi des nombres : à mi-chemin entre 2 et 3 se trouve par exemple 2,5.

Une droite graduée est une droite réelle équipée d’un repère. Celui-ci peut être donné par l’origine O et un point unité I distinct de O. La distance OI fixe l’unité de longueur, tandis que l’ordre de O vers I fixe le sens positif. Le sens opposé est le sens négatif.

À chaque point M correspond un unique nombre réel x_M, appelé son abscisse. Cette correspondance est caractérisée par $\overrightarrow{OM}=x_M\overrightarrow{OI}\backslash overrightarrow\{OM\}=x\_M\backslash ,\backslash overrightarrow\{OI\}$. Réciproquement, chaque nombre réel détermine un unique point de la droite. La correspondance entre les points et les réels est donc une bijection. Elle conserve l’ordre : avancer dans le sens positif fait croître les abscisses.

Les traits et les nombres dessinés matérialisent quelques repères, mais ils ne sont pas tous nécessaires à la définition. Une figure ne montre qu’une portion finie de la droite et qu’un nombre fini de graduations ; les autres points, notamment ceux d’abscisse irrationnelle, appartiennent néanmoins à la droite graduée. Placée horizontalement dans un repère du plan, elle fournit le modèle de l’axe des abscisses.

La droite est le support géométrique, illimité dans les deux sens. L’origine O reçoit l’abscisse 0. Le point unité I reçoit l’abscisse 1 : la longueur OI définit une unité et la direction de O vers I définit le sens positif. Une flèche peut rendre cette orientation visible.

Les graduations reportent ensuite cette unité ou ses subdivisions ; leurs étiquettes indiquent les abscisses. Leur espacement dépend donc de OI, et l’ordre de leurs valeurs dépend du sens choisi. La couleur, l’épaisseur, la position horizontale ou verticale et le nombre de traits affichés ne définissent pas l’objet. La droite, O et I suffisent à attribuer une abscisse à tout point.

Données.
L’origine O porte le nombre 0.
Le point unité I, placé à droite de O, porte le nombre 1.
Chaque unité est partagée en deux intervalles égaux.
On veut placer le point P d’abscisse 2,5, puis vérifier sa position.

1. À partir de O, avançons de deux unités dans le sens positif pour repérer la graduation 2.

2. Comme chaque unité est partagée en deux, la graduation suivante ajoute une demi-unité, soit 0,5. Plaçons P sur cette graduation, à mi-chemin entre 2 et 3.

3. L’abscisse de P, notée x_P, est donc 2 + 0,5 = 2,5.

Résultat. Le point P a pour abscisse 2,5. La représentation matérialise les cinq demi-unités qui séparent O de P.

Contrôle. En revenant de P vers O, on parcourt cinq intervalles de 0,5 unité. Leur longueur totale vaut 5 × 0,5 = 2,5 unités, ce qui confirme la lecture.

Pour comparer des nombres, on place leurs points : celui qui se trouve le plus loin dans le sens positif porte le plus grand nombre. Une liste ordonnée suffit si seules les positions relatives comptent ; la droite graduée est préférable lorsque les écarts doivent aussi être visibles.

Pour représenter un intervalle, on marque ses bornes puis la portion concernée. Une inégalité est plus compacte pour un calcul symbolique ; la droite graduée montre immédiatement si une borne est incluse et où se situent les valeurs admissibles.

Pour construire un repère du plan, deux axes gradués non parallèles permettent de situer un point par deux coordonnées. Une seule droite suffit lorsque seule l’abscisse est utile ; le second axe devient nécessaire pour distinguer des points placés à des hauteurs différentes.

Une abscisse est un nombre, tandis qu’une droite graduée est le support qui associe ce nombre à un point. Dans l’exemple, 2,5 est l’abscisse et P est le point correspondant.

L’axe des abscisses est l’un des axes d’un repère du plan. C’est une droite graduée investie d’un rôle particulier : il porte la première coordonnée des points du plan. Une droite graduée isolée n’est donc pas forcément l’axe d’un repère plan.

Une règle graduée est un instrument matériel limité, destiné à mesurer des longueurs. La droite graduée est un objet mathématique illimité qui représente des nombres réels. Une règle de 20 cm s’arrête ; la droite portant les abscisses ne possède pas d’extrémité.

Une origine et une longueur unité ne suffisent pas, à elles seules, à distinguer les deux sens de la droite. Il faut aussi choisir le côté positif, par exemple au moyen du point unité I. Sinon, un même point pourrait recevoir deux abscisses opposées selon l’orientation retenue.

L’abscisse 0 est le cas charnière : elle n’est ni positive ni négative. Un point à gauche de O n’a une abscisse négative que si le sens positif a été choisi vers la droite ; retourner l’orientation inverse tous les signes.

Des graduations régulièrement espacées représentent des écarts numériques égaux. Si les étiquettes 0, 1 et 3 sont posées sur trois traits consécutifs équidistants, la graduation est incohérente. Il faut déplacer le troisième trait pour que l’écart 1 à 3 occupe deux unités, ou corriger son étiquette.

Lire une abscisse sur un dessin imprimé donne une valeur exacte seulement si le point coïncide avec une graduation explicitement étiquetée ou construite. Entre deux traits, une lecture à l’œil reste approximative ; il faut employer les subdivisions données ou annoncer la précision de l’estimation.

Abscisse — Pour approfondir le nombre qui repère un point sur une droite et devient la première coordonnée dans le plan.

Cartésiennes (coordonnées) — Pour passer d’une droite graduée aux coordonnées qui situent un point dans un repère du plan.