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géométrie tropicale

Dans la convention max-plus, la géométrie tropicale remplace l’addition par le maximum et la multiplication par l’addition ordinaire sur les réels auxquels on adjoint −∞, neutre du maximum. Les polynômes tropicaux sont ainsi des fonctions affines par morceaux, et leurs hypersurfaces sont les lieux où le maximum est atteint par au moins deux termes : cette traduction rend des problèmes de géométrie algébrique accessibles à des méthodes combinatoires.

La courbe de P(x, y) = max(0, x, y) réunit trois lieux d’égalité dominante au sommet (0, 0).

Sommaire

Ce que vous allez apprendre

Distinguer l’addition tropicale de la multiplication tropicale dans la convention max-plus.
Construire et contrôler la courbe du polynôme tropical qui compare 0, x et y.
Repérer les égalités dominantes, le sommet triple et le rôle du zéro tropical.
Situer les liens avec la géométrie algébrique, la combinatoire, les codes et la topologie.

En clair

Imaginez trois nombres qui se disputent la première place. L’addition tropicale ne les cumule pas : elle garde le plus grand. La multiplication tropicale, elle, additionne les nombres comme d’habitude.

Avec ces deux gestes, un polynôme devient un assemblage de morceaux affines. Sa courbe apparaît aux endroits où au moins deux morceaux arrivent ex æquo. Pour le polynôme tropical qui compare 0, x et y, ces égalités dessinent trois demi-droites réunies en un sommet.

Définition

La géométrie tropicale étudie des analogues affines par morceaux d’objets de géométrie algébrique. Dans la convention max-plus retenue ici, l’addition tropicale de deux réels a et b, notée a ⊕ b, est leur maximum. Leur multiplication tropicale, notée a ⊙ b, est leur somme ordinaire.

Ces règles transforment un monôme tropical en fonction affine et un polynôme tropical en maximum d’un nombre fini de fonctions affines. Avec deux variables réelles x et y, le polynôme conducteur est

P(x,y)=0\mathbin{\oplus}x\mathbin{\oplus}y=\max\{0,x,y\}

. La courbe tropicale associée est l’ensemble des points où ce maximum est atteint par au moins deux des trois termes.

On obtient ainsi des courbes et, en dimension supérieure, des variétés tropicales. Elles sont des analogues tropicaux des objets algébriques classiques, et non ces objets eux-mêmes. Cette approche relie notamment géométrie algébrique, combinatoire, théorie des codes et topologie ; des objets tropicaux apparaissent aussi en cristallographie et en biologie quantitative.

Un exemple, pas à pas

Considérons le polynôme tropical P qui compare les trois termes 0, x et y. Les données sont donc deux coordonnées réelles x et y, avec l’addition tropicale définie par le maximum. La courbe cherchée rassemble les points où deux termes au moins partagent la valeur maximale.

1. Pour x = y ≥ 0, les termes x et y sont ex æquo et dominent 0. On obtient la demi-droite diagonale issue de (0, 0).

2. Pour x = 0 et y ≤ 0, les termes 0 et x sont ex æquo et dominent y. On obtient la demi-droite verticale descendante.

3. Pour y = 0 et x ≤ 0, les termes 0 et y sont ex æquo et dominent x. On obtient la demi-droite horizontale allant vers la gauche.

Les trois demi-droites se rejoignent en (0, 0), où les trois termes valent 0. Contrôle : au point (2, 1), le maximum vaut 2 et n’est atteint que par x ; ce point n’appartient donc pas à la courbe.

En pratique

En géométrie algébrique, la tropicalisation remplace un objet classique par un modèle affine par morceaux. Lorsque les segments, sommets et directions rendent la structure plus lisible, ce modèle complète l’étude de l’objet algébrique plutôt qu’il ne s’y substitue.

En combinatoire et en topologie, on examine le graphe formé par les morceaux et leurs raccords. Si l’information recherchée dépend de ces connexions, la description tropicale est plus directe qu’une manipulation des expressions classiques.

En théorie des codes, ainsi qu’en biologie quantitative ou en cristallographie, des objets tropicaux peuvent organiser des comparaisons dominées par un maximum. Le bon réflexe consiste à vérifier d’abord que les opérations max-plus traduisent réellement le modèle étudié.

À ne pas confondre

Géométrie tropicale et algèbre tropicale. L’algèbre tropicale fournit les opérations, comme max et somme dans la convention max-plus. La géométrie tropicale étudie les objets géométriques construits avec elles. Calculer 2 ⊕ 5 = 5 relève de l’algèbre ; décrire les trois branches de la courbe de P relève de la géométrie.

Courbe tropicale et graphe d’une fonction. Le graphe de P contient les points (x, y, P(x, y)) dans l’espace. La courbe tropicale de P se situe dans le plan des variables et retient les points où le maximum est atteint au moins deux fois. Le point (2, 1) appartient au domaine du graphe, mais pas à cette courbe tropicale.

Limites et pièges

Un maximum unique ne suffit pas. Une cassure tropicale apparaît quand plusieurs termes dominants sont ex æquo. En (2, 1), P vaut 2 par le seul terme x : il ne faut pas placer ce point sur la courbe.

Le sommet est un cas triple. À l’origine, 0, x et y valent tous 0. Ce point appartient bien aux trois branches ; le traiter comme une simple égalité entre deux termes ferait perdre le raccordement.

La convention doit être annoncée. Cette fiche emploie max-plus. D’autres présentations utilisent min-plus ; mélanger les deux inverse les régions dominantes et change le dessin si les coordonnées ne sont pas transformées en conséquence.

Le neutre de l’addition demande une extension. Sur les seuls réels, max(a, b) n’a pas d’élément neutre réel. Pour obtenir le cadre algébrique usuel avec un zéro tropical, on adjoint −∞ dans la convention max-plus ; il ne faut pas confondre ce zéro avec le réel 0.