GéométrieNotion · Glossaire
Gergonne Joseph-Diaz
Joseph-Diez Gergonne (1771-1859) est un mathématicien français qui travaille en géométrie et en logique. En 1810, il fonde les Annales de mathématiques pures et appliquées, dites Annales de Gergonne, une revue consacrée aux mathématiques qu'il dirige jusqu'en 1831. Il formule explicitement, indépendamment et en même temps que Poncelet, le principe de dualité en géométrie projective : l'échange des rôles des points et des droites dans un énoncé.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer Gergonne comme enseignant et fondateur des Annales de mathématiques pures et appliquées.
- Comprendre la dualité projective par un exemple d'échange entre points et droites.
- Repérer la notation fonctionnelle f(x) et distinguer Gergonne du théorème de Gergonne.
En clair
En 1810, Joseph-Diez Gergonne lance une revue consacrée entièrement aux mathématiques. Depuis Montpellier, il y rassemble et diffuse des travaux de géométrie et de logique.
Son nom reste aussi attaché à une idée de géométrie projective : un énoncé peut souvent être lu avec les rôles des points et des droites échangés. Cette symétrie s'appelle le principe de dualité.
Définition
Joseph-Diez Gergonne est un mathématicien français qui travaille en géométrie et en logique. Il enseigne d'abord à l'École d'artillerie de Nîmes, puis à la faculté des sciences de Montpellier.
Son apport le plus visible est éditorial. En 1810, il fonde les Annales de mathématiques pures et appliquées, appelées aussi Annales de Gergonne, et les dirige jusqu'en 1831. La revue publie notamment des travaux de Poncelet, Dupin et Lamé ; elle contribue ainsi à diffuser et à structurer la recherche mathématique française au début du XIXe siècle.
En géométrie projective plane, le principe de dualité associe à un énoncé un énoncé dual obtenu en échangeant les rôles des points et des droites, avec les relations correspondantes. Gergonne le formule explicitement indépendamment et en même temps que Poncelet. Il introduit également la notation fonctionnelle f(x) et s'intéresse à la logique formelle.
Un exemple, pas à pas
Considérons l'énoncé projectif suivant : deux points distincts déterminent une droite. L'exemple montre comment le principe de dualité transforme cet énoncé en une assertion de même structure.
Les données sont les suivantes : deux points distincts ; la droite qui les relie ; le cadre de la géométrie projective plane.
1. Dans l'énoncé initial, les objets de départ sont deux points.
2. La relation « déterminer une droite » devient, dans l'énoncé dual, la relation correspondante entre deux droites distinctes et le point qu'elles déterminent.
3. La structure logique est conservée : deux objets distincts, une relation de détermination et un objet géométrique obtenu. Le contrôle consiste à vérifier que le passage a bien échangé les rôles sans modifier les autres relations.
En pratique
Pour retrouver l'influence de Gergonne, on peut consulter une source historique des mathématiques et suivre la circulation des articles dans les Annales de Gergonne. Le geste consiste à relier un auteur, une revue et les travaux publiés, plutôt qu'à isoler un résultat de son contexte.
Pour lire un énoncé de géométrie projective, on peut rechercher sa version duale en repérant les mots qui désignent des points et ceux qui désignent des droites. Cette méthode est pertinente lorsque les relations géométriques restent valables après l'échange annoncé.
Pour reconnaître la notation fonctionnelle, on observe une lettre comme f associée à une variable entre parenthèses, par exemple f(x). Il faut alors distinguer le nom de la fonction de la valeur obtenue pour une valeur donnée de la variable.
À ne pas confondre
Gergonne ne se confond pas avec le théorème de Gergonne. Le critère qui tranche est le sujet de la page : ici, il s'agit d'une personne, d'une revue et d'une contribution à la géométrie projective ; le théorème de Gergonne désigne une autre notion géométrique.
Le principe de dualité ne signifie pas que tout énoncé devient automatiquement vrai après échange des mots. Le cas qui tranche est celui où les relations et les hypothèses du cadre projectif autorisent effectivement l'énoncé dual.
Limites et pièges
La dualité concerne la structure d'un énoncé projectif, pas un échange décoratif des mots. Si un terme n'a pas de correspondant dual ou si une hypothèse est perdue, le résultat obtenu n'est pas une dualité correctement formulée. Il faut alors réécrire l'énoncé en conservant toutes ses relations.
L'exemple des deux points suppose qu'ils sont distincts. Avec un seul point, ou avec deux points confondus, une droite déterminée de façon unique n'est pas fournie par cette règle. Il faut ajouter d'autres données ou employer une construction adaptée.
Enfin, attribuer à Gergonne seul le principe de dualité serait trompeur : la source précise qu'il le formule indépendamment et en même temps que Poncelet. La date 1810 concerne la fondation des Annales de mathématiques pures et appliquées, non une découverte globale de toute sa pensée.
Pour aller plus loin
La géométrie projective fournit le cadre où le principe de dualité prend son sens précis. Le lecteur y gagne les notions nécessaires pour comprendre pourquoi points et droites peuvent être associés dans des énoncés structurés.
Les Annales de Gergonne prolongent l'aspect historique de la fiche. Le lecteur y gagne un éclairage sur la revue fondée en 1810 et sur son rôle dans la diffusion des mathématiques au XIXe siècle.
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