GéométrieNotion · Glossaire
Hamel Georg
Georg Hamel est un mathématicien allemand connu pour ses travaux sur les fonctions et les fondements des mathématiques. Une base de Hamel est une base de l'espace vectoriel des réels sur les rationnels : tout réel s'écrit de façon unique comme combinaison linéaire finie d'éléments de cette base, avec des coefficients rationnels, et son existence repose sur l'axiome du choix. Pour f : ℝ → ℝ, elle permet de construire des solutions additives discontinues de l'équation de Cauchy, tandis que toute solution continue est de la forme f(x) = cx.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer les principaux lieux et thèmes du parcours de Georg Hamel.
- Définir une base de Hamel des réels sur les rationnels.
- Suivre la construction d’une solution additive discontinue.
- Distinguer additivité, linéarité réelle et continuité.
En clair
En 1905, Georg Hamel construit une façon très particulière de décrire chaque nombre réel à partir de nombres de référence et de coefficients rationnels. Cette « base de Hamel » révèle un phénomène surprenant : additionner correctement ne suffit pas à rendre une fonction continue.
Ce résultat relie une question concrète sur les fonctions à l’axiome du choix. Il constitue la trace la plus connue d’un parcours qui passe aussi par Göttingen, Brno, Aix-la-Chapelle et Berlin.
Définition
Georg Hamel (1877–1954) est un mathématicien allemand actif en théorie des fonctions, en fondements des mathématiques et en mécanique rationnelle. Il prépare à Göttingen, sous la direction de Hilbert, une thèse consacrée au quatrième des vingt-trois problèmes de Hilbert. La question consiste à caractériser les géométries dont les géodésiques sont des droites. Après avoir assisté Klein à Göttingen puis Heun à Karlsruhe, il enseigne à Brno, à Aix-la-Chapelle et enfin à Berlin, jusqu’à sa retraite en 1949.
Sa contribution la plus connue date de 1905. Hamel construit une base de l’espace vectoriel des nombres réels sur le corps des nombres rationnels. Cela signifie que tout nombre réel s’écrit de manière unique comme une combinaison linéaire finie d’éléments de cette base, avec des coefficients rationnels. L’existence d’une telle base repose sur l’axiome du choix.
Cette construction éclaire l’équation fonctionnelle de Cauchy. Pour une fonction f des réels dans les réels, cette équation impose pour tous nombres réels x et y. Les solutions continues sont linéaires, tandis qu’une base de Hamel permet d’établir l’existence de solutions discontinues. Hamel propose aussi une construction axiomatique de la mécanique rationnelle.
Un exemple, pas à pas
Considérons une base de Hamel des réels sur les rationnels. Choisissons deux éléments distincts de cette base, notés u et v. Nous attribuons la valeur 0 à u, la valeur 1 à v et la valeur 0 à tous les autres éléments de la base.
1. Tout réel x possède une unique écriture comme combinaison finie d’éléments de la base, avec des coefficients rationnels.
2. Si qu et qv désignent les coefficients rationnels de u et de v dans cette écriture, nous posons .
3. Pour deux réels x et y, les coefficients de leur somme s’additionnent. On obtient donc .
4. Pourtant, f ne peut pas être de la forme avec un réel c : la valeur f(u) = 0 imposerait c = 0, alors que f(v) = 1.
2. Si qu et qv désignent les coefficients rationnels de u et de v dans cette écriture, nous posons .
3. Pour deux réels x et y, les coefficients de leur somme s’additionnent. On obtient donc .
4. Pourtant, f ne peut pas être de la forme avec un réel c : la valeur f(u) = 0 imposerait c = 0, alors que f(v) = 1.
Le contrôle est immédiat sur la base : l’additivité est respectée, mais la fonction n’est pas linéaire sur les réels. Puisque toute solution additive continue est linéaire, cette fonction est discontinue.
En pratique
Dans un texte d’algèbre, l’expression « base de Hamel » indique que les scalaires sont rationnels et que chaque combinaison est finie. Si les coefficients admis sont réels, il faut employer la base correspondant à cette autre structure vectorielle.
Devant l’équation additive de Cauchy pour une fonction f des réels dans les réels, le premier geste consiste à regarder les hypothèses de régularité. Avec la continuité, les solutions sont linéaires ; sans elle, la base de Hamel ouvre la voie à des solutions discontinues.
Dans une recherche historique, le nom de Hamel peut aussi renvoyer au quatrième problème de Hilbert ou à la mécanique rationnelle. Le contexte — géodésiques, fonctions additives ou axiomatisation mécanique — indique quelle contribution est en jeu.
À ne pas confondre
Base de Hamel et base sur les réels. Une base de Hamel décompose les nombres réels avec des coefficients rationnels. Une décomposition autorisant des coefficients réels ne décrit pas la même structure vectorielle.
Fonction additive et fonction linéaire sur les réels. L’identité f(x + y) = f(x) + f(y) garantit l’additivité. La fonction de l’exemple est additive, mais ses valeurs en u et v prouvent qu’elle n’est pas de la forme f(x) = cx.
Quatrième problème de Hilbert et ensemble des problèmes de Hilbert. La thèse de Hamel traite la question précise des géométries dont les géodésiques sont des droites, non les vingt-trois problèmes dans leur ensemble.
Limites et pièges
L’existence n’est pas une recette explicite. La construction d’une base de Hamel repose sur l’axiome du choix. Il ne faut donc pas présenter la sélection de la base comme un algorithme fourni par la fiche.
Les coefficients sont rationnels. L’écriture unique d’un réel utilise une somme finie et des coefficients dans les rationnels. Autoriser des coefficients réels change le problème et invalide la construction de l’exemple.
La continuité est décisive. Pour les fonctions f des réels dans les réels, une solution de l’équation additive n’est pas automatiquement discontinue. Les solutions continues sont linéaires ; la construction guidée produit un cas non linéaire, donc discontinu.
Le nom ne désigne pas une contribution unique. Réduire Hamel à sa base ferait disparaître sa thèse sur le quatrième problème de Hilbert et ses travaux axiomatiques en mécanique rationnelle.
Pour aller plus loin
axiome du choix — Situer l’hypothèse d’existence sur laquelle repose la construction d’une base de Hamel.
espace vectoriel — Revoir le cadre qui permet de considérer les réels comme un espace vectoriel sur les rationnels.
problèmes de Hilbert — Replacer le sujet de thèse de Hamel dans l’ensemble des vingt-trois problèmes.
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