AnalyseThéorème · Glossaire
Riesz (théorème de représentation de)
Dans un espace de Hilbert H, toute forme linéaire continue f s'écrit de manière unique f(x)=⟨x,y⟩ pour un certain vecteur y de H, selon la convention choisie pour le produit scalaire. De plus, la norme de f est égale à celle de y. C'est le théorème de représentation de Riesz pour les espaces de Hilbert. Il ne faut le confondre ni avec le lemme de Riesz sur les sous-espaces fermés, ni avec le théorème de représentation de Riesz-Markov par des mesures.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le représentant unique d'une forme linéaire continue.
- Appliquer l'énoncé à une forme dans ℝ² et contrôler la norme.
- Distinguer le lemme de Riesz et Riesz-Markov.
En clair
Imaginez une règle qui prend un vecteur et renvoie un nombre, comme une mesure orientée de sa projection. Le théorème de représentation de Riesz dit qu'une telle règle continue est entièrement décrite par un unique vecteur caché. Le produit scalaire avec ce vecteur reproduit exactement le nombre obtenu.
Le résultat est utile parce qu'il transforme une forme linéaire, qui agit sur des vecteurs, en objet géométrique que l'on peut visualiser. La continuité garantit que de petites variations du vecteur d'entrée ne provoquent pas de variation incontrôlée.
Définition
Un espace de Hilbert est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire et complet pour la distance qu'il définit. Une forme linéaire f sur cet espace associe un scalaire à chaque vecteur x, en respectant les sommes et les multiplications par un scalaire. Elle est continue si elle est bornée, c'est-à-dire s'il existe une constante C telle que |f(x)| ≤ C‖x‖ pour tout x.
Le théorème affirme alors qu'il existe un unique vecteur y tel que, avec la convention où le produit scalaire est linéaire en sa première variable, pour tout x. Dans un espace complexe utilisant l'autre convention, la même relation s'écrit . Le vecteur représentant f vérifie aussi , où ‖f‖ est la norme d'opérateur de la forme linéaire.
La complétude de l'espace intervient dans l'existence du représentant. L'unicité vient de la propriété suivante : si le produit scalaire d'un vecteur avec tout x est nul, ce vecteur est nul.
Le principe
Soit H un espace de Hilbert réel ou complexe et soit f une forme linéaire continue sur H. Alors il existe un unique y ∈ H qui représente f par le produit scalaire. Avec la convention linéaire en première variable, l'énoncé est :
La correspondance f ↦ y est une bijection isométrique : elle conserve les normes, puisque ‖f‖ = ‖y‖. En convention linéaire en seconde variable, l'ordre des deux arguments est inversé.
Quand l'utiliser
Le domaine est un espace de Hilbert, donc un espace à produit scalaire complet. La donnée à représenter doit être une forme linéaire continue sur tout cet espace. Il faut également fixer la convention de linéarité du produit scalaire, surtout dans le cas complexe.
Une forme linéaire discontinue ne relève pas du théorème. Par exemple, sur l'espace des suites de carré sommable, l'application qui associerait à une suite la série de ses coordonnées sans coefficients décroissants n'est pas définie sur toutes les suites ; elle ne fournit donc pas une forme linéaire continue à représenter. Sur un espace préhilbertien non complet, l'existence peut échouer, même si l'unicité reste liée au produit scalaire.
Un exemple, pas à pas
Dans ℝ² muni du produit scalaire usuel, considérons la forme linéaire f définie par f(x₁,x₂) = x₁ + 2x₂. Les données sont le vecteur d'entrée x = (x₁,x₂), le vecteur candidat y = (1,2) et la norme euclidienne.
Pour x = (x₁,x₂), le produit scalaire donne . Il coïncide donc avec f(x). La norme du représentant vaut . La norme de f vaut aussi √5, car le maximum de |x₁+2x₂| sur la sphère unité est atteint lorsque x est colinéaire à (1,2).
Le contrôle est direct : pour x = (3,−1), f(x) = 3 − 2 = 1 et ⟨x,y⟩ = 3·1 + (−1)·2 = 1. Le même vecteur y fonctionne pour tout x, ce qui illustre l'unicité.
En pratique
En dimension finie, une forme linéaire se lit comme un produit scalaire avec un vecteur de coefficients. Le théorème donne la même lecture dans des espaces de fonctions ou de suites, parfois de dimension infinie.
Pour identifier le représentant, on écrit la forme linéaire sur un vecteur général, puis on compare avec le produit scalaire choisi. Si une expression intégrale apparaît, la représentation par une fonction est recherchée dans l'espace de Hilbert concerné, avec sa convention de produit scalaire.
Lorsque la forme n'est pas continue ou que l'espace n'est pas complet, il faut vérifier les hypothèses avant d'utiliser ce procédé. Selon le problème, une formulation par distributions ou par mesures peut être plus appropriée.
À ne pas confondre
Le lemme de Riesz concerne la distance entre un vecteur et un sous-espace fermé strict d'un espace normé. Il ne représente pas une forme linéaire par un vecteur. Le critère qui tranche est la présence d'une forme f à représenter, plutôt qu'une question de distance à un sous-espace.
Le théorème de représentation de Riesz-Markov concerne la représentation de certaines formes linéaires sur des espaces de fonctions par des mesures. Ici, le représentant appartient à l'espace de Hilbert lui-même et intervient dans un produit scalaire.
Limites et pièges
Dans un espace complexe, changer la convention de linéarité ne change pas le résultat, mais change l'ordre des arguments du produit scalaire. Reprendre mécaniquement f(x)=⟨x,y⟩ peut donc rendre une formule anti-linéaire au lieu d'être linéaire.
La continuité n'est pas un détail technique : elle équivaut ici à la bornitude de f et assure que sa norme est finie. Une application linéaire définie seulement sur un sous-espace dense peut avoir une extension ou non ; le théorème s'applique à la forme continue définie sur tout H, pas à une expression formelle isolée.
Enfin, le lemme de Riesz et Riesz-Markov ne sont pas des cas limites internes de ce théorème. Ce sont des résultats distincts, même si le nom de Riesz apparaît dans les trois appellations.
Pour aller plus loin
Pour approfondir la distinction de vocabulaire, le lemme de Riesz montre comment la géométrie des sous-espaces fermés intervient dans l'analyse fonctionnelle. Cette lecture aide à reconnaître immédiatement le résultat adapté lorsqu'une question porte sur une distance plutôt que sur une représentation.
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