Ibn Yunus

Au Caire, vers 1000, un astronome doit comparer des positions d'astres consignées dans de longues tables. Ibn Yūnus observe le ciel, rassemble les résultats et cherche des calculs qui permettent de les exploiter avec moins d'opérations.

Son nom est surtout associé aux Tables hakémites, vaste recueil de données dédié aux califes fatimides al-ʿAzīz et al-Ḥākim. La formule prosthaphérétique aide à remplacer un produit de cosinus par une combinaison de sommes. Elle rend ainsi les calculs astronomiques plus maniables avant l'invention des logarithmes.

Ibn Yūnus est le nom abrégé d'Abū l-Ḥasan ʿAlī ibn ʿAbd al-Raḥmān ibn Aḥmad ibn Yūnus al-Ṣadafī, mathématicien et astronome égyptien actif entre les environs de 950 et 1009. Sa fonction d'astronome attitré des califes fatimides al-ʿAzīz et al-Ḥākim l'inscrit dans un travail d'observation et de calcul au Caire.

Son œuvre maîtresse est le Zīj al-Kabīr al-Ḥākimī, appelé Tables hakémites. Il s'agit d'un recueil de données astronomiques, dédié aux deux califes et utilisé ensuite par des astronomes du monde arabe et d'Europe. La source le présente comme l'une des observations astronomiques médiévales les plus précises et les plus complètes.

La formule prosthaphérétique est une méthode trigonométrique qui transforme un produit de cosinus en sommes. Le cosinus est une valeur trigonométrique associée à un angle ; c'est cette valeur que les anciennes tables permettaient de consulter. Pour deux angles A et B, une forme élémentaire s'écrit : $\cos A\cos B=\frac{\cos (A+B)+\cos (A-B)}{2}\backslash cos\; A\backslash ,\backslash cos\; B=\backslash frac\{\backslash cos(A+B)+\backslash cos(A-B)\}\{2\}$. Le procédé simplifie les calculs astronomiques à une époque antérieure aux logarithmes. La contribution d'Ibn Yūnus relève aussi de la trigonométrie sphérique, qui étudie les relations entre angles et arcs sur la sphère céleste.

Le cas conducteur est celui d'un calcul astronomique où deux facteurs cosinus doivent être combinés. Les données sont les deux angles A et B, ainsi que le produit cos A cos B à remplacer. L'objectif n'est pas de reconstituer une observation particulière d'Ibn Yūnus, mais de suivre le mécanisme mathématique mentionné par la source.

Prenons A = 60° et B = 30°. 1. Le produit direct vaut cos 60° × cos 30° ≈ 0,5 × 0,866025 = 0,433013.
2. On additionne les angles : A + B = 90°.
3. On les soustrait : A − B = 30°.
4. Les cosinus correspondants valent cos 90° = 0 et cos 30° ≈ 0,866025.
5. On additionne ces deux valeurs et on divise par 2 : (0 + 0,866025) / 2 = 0,433013.
6. On retrouve donc, à l'arrondi près, le produit direct, selon l'identité $\cos A\cos B=\frac{\cos (A+B)+\cos (A-B)}{2}\backslash cos\; A\backslash ,\backslash cos\; B=\backslash frac\{\backslash cos(A+B)+\backslash cos(A-B)\}\{2\}$.

Le contrôle consiste à refaire le produit direct lorsque les valeurs des angles sont disponibles, puis à comparer les deux résultats avec la précision du calcul. La transformation est exacte ; une éventuelle différence d'affichage provient seulement de l'arrondi numérique.

Dans une table astronomique, le geste consiste à observer ou relever les données, puis à les organiser pour qu'un autre calcul puisse les réutiliser. Les Tables hakémites servent précisément de recueil de données.

Lorsqu'un calcul contient un produit de cosinus, la formule prosthaphérétique offre une alternative au produit direct : on forme une somme et une différence d'angles, puis on combine les cosinus obtenus. Elle est utile lorsque ces valeurs sont plus faciles à consulter dans des tables.

Pour interpréter la portée historique du procédé, il faut le replacer avant l'invention des logarithmes. Il s'agit d'une simplification des calculs astronomiques, non d'une nouvelle observation du ciel à elle seule.

Ibn Yūnus al-Ṣadafī et Abū Bishr Mattā ibn Yūnus al-Qunnāʿī. Le critère est le domaine et la période : le premier est l'astronome et mathématicien égyptien situé vers 950–1009 ; le second est le philosophe aristotélicien et traducteur syriaque mort en 940. Le nom commun ne signale aucun lien entre eux.

Tables hakémites et formule prosthaphérétique. Les Tables hakémites sont un recueil de données astronomiques ; la formule est une méthode de calcul qui transforme des produits de cosinus en sommes. Une table fournit des valeurs, tandis que la formule transforme une opération.

Un calcul transformé ne devient pas automatiquement une observation. La formule prosthaphérétique réorganise un produit de cosinus. Elle ne remplace ni l'observation du ciel ni la constitution d'une table ; il faut donc distinguer le calcul, les données et leur interprétation astronomique.

La formule suppose des angles définis dans le même cadre. Le symptôme d'une erreur de lecture est une comparaison entre des angles qui ne relèvent pas du même repère ou entre des degrés et des radians non convertis. Il faut expliciter l'unité et le référentiel avant de calculer.

Une égalité exacte n'implique pas des décimales identiques à l'écran. Un résultat obtenu par la transformation peut différer du produit direct après arrondi. Il faut conserver davantage de chiffres pendant le calcul ou comparer les valeurs avec la précision retenue, au lieu d'exiger une égalité décimale affichée.

Le nom Ibn Yūnus exige une vérification d'identité. Une référence au philosophe Abū Bishr Mattā ibn Yūnus ne documente pas l'astronome égyptien. Il faut contrôler le domaine, le lieu et la date avant d'attribuer une œuvre ou une méthode.

Trigonométrie sphérique. Approfondir le cadre mathématique auquel la source rattache la contribution d'Ibn Yūnus, en étudiant les relations entre angles et arcs sur une sphère.