Logique et ensemblesNotion · Glossaire
Large
En mathématiques, une inégalité ou une inclusion est dite large (par opposition à stricte) lorsqu'elle admet l'égalité. Ainsi, une inégalité large entre deux réels a et b s'écrit a inférieur ou égal à b, tandis que l'inégalité stricte s'écrit a strictement inférieur à b. De même, une inclusion large entre ensembles A et B signifie que A est inclus dans B ou égal à B. Ce terme est utilisé pour préciser le caractère d'une inégalité ou d'une relation d'ordre.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître si une inégalité admet sa valeur frontière.
- Distinguer les signes larges ≤ et ≥ des signes stricts < et >.
- Appliquer une condition large à un seuil de 12 points.
- Interpréter une inclusion qui autorise l'égalité des ensembles.
En clair
Un concours fixe la barre d'admission à 12 points. Dire qu'il faut obtenir au moins 12 autorise une note exactement égale à 12. La comparaison est donc large : elle comprend la frontière annoncée.
Avec une condition strictement supérieure à 12, cette valeur frontière serait exclue. Le mot « large » ne décrit pas la taille de l'écart : il indique seulement que l'égalité est admise.
Définition
Une inégalité est large lorsque le cas d'égalité satisfait la relation. Pour deux nombres réels nommés a et b, « a est inférieur ou égal à b » s'écrit a ≤ b. De même, « a est supérieur ou égal à b » s'écrit a ≥ b. Les signes ≤ et ≥ incluent donc leur valeur frontière.
L'opposition porte uniquement sur l'égalité. L'inégalité stricte a < b signifie que a est inférieur à b, ce qui implique que les deux réels sont différents, tandis que a ≤ b reste vraie lorsque a = b. Par exemple, 12 ≤ 12 est vraie, mais 12 < 12 est fausse.
La même idée vaut pour les ensembles. Une inclusion large de l'ensemble A dans l'ensemble B autorise A = B : tous les éléments de A appartiennent à B, sans exiger qu'un élément de B reste hors de A. Le terme précise ainsi le caractère d'une inégalité, d'une inclusion ou, plus généralement, d'une relation d'ordre.
Un exemple, pas à pas
Une sélection retient les personnes qui obtiennent au moins 12 points. Léa obtient 12 points, Sami 11,5 points et Inès 14 points. Il faut déterminer qui remplit la condition.
Données : le seuil vaut 12 points ; les trois résultats valent respectivement 12, 11,5 et 14 points. La condition « au moins 12 » s'écrit avec une inégalité large : score ≥ 12.
1. Pour Léa, 12 ≥ 12 est vraie, car l'égalité est autorisée. Léa est retenue.
2. Pour Sami, 11,5 ≥ 12 est fausse. Sami n'est pas retenu.
3. Pour Inès, 14 ≥ 12 est vraie. Inès est retenue.
Le résultat est donc : Léa et Inès sont retenues. Pour contrôler, il suffit de remplacer ≥ par > : Léa serait alors exclue, ce qui confirme que son admission dépend bien du caractère large. La droite graduée associée rend visible ce rôle de la valeur frontière.
En pratique
Pour traduire « au moins 12 », on écrit score ≥ 12. On préfère l'inégalité stricte score > 12 seulement si un résultat exactement égal à 12 doit être refusé.
Pour exprimer un plafond, « au plus 12 » devient score ≤ 12. Si la valeur 12 est interdite, la formulation correcte est « strictement inférieur à 12 », soit score < 12.
Avec des ensembles, on vérifie si tous les éléments de A appartiennent à B. L'inclusion large convient même lorsque les deux ensembles sont égaux ; une inclusion exigeant une différence entre eux ne convient que si B possède au moins un élément absent de A.
À ne pas confondre
Inégalité stricte. Elle exclut l'égalité, contrairement à l'inégalité large. Le test décisif consiste à essayer la valeur frontière : 12 ≤ 12 est vraie, tandis que 12 < 12 est fausse.
Égalité. Une inégalité large autorise l'égalité, mais ne l'impose pas. Ainsi, 14 ≥ 12 est une inégalité large vraie alors que les deux nombres ne sont pas égaux.
Limites et pièges
Valeur frontière. À 12 points pour une condition score ≥ 12, la frontière appartient aux valeurs admises. Oublier le trait sous le signe change précisément le verdict pour ce cas charnière.
Ensembles égaux. L'inclusion large de A dans B reste vraie lorsque A = B. Chercher obligatoirement un élément supplémentaire dans B reviendrait à tester une inclusion qui exclut l'égalité.
Lecture du signe. Dans a ≤ b, le trait sous < ajoute le cas a = b ; il ne signifie pas que les deux nombres sont nécessairement égaux. Il faut donc tester la comparaison complète, pas seulement le trait.
Pour aller plus loin
La fiche relation d'ordre replace les comparaisons larges dans le cadre des relations qui permettent d'ordonner des objets.
La fiche Inclusion approfondit la relation entre deux ensembles et le cas où leurs éléments coïncident entièrement.
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