Strict

Sur une droite graduée, le nombre 3 se trouve avant le nombre 5 : on écrit 3 < 5. Le signe strict laisse la frontière de côté. Ainsi, 3 < 3 est faux, tandis qu'une comparaison qui autorise l'égalité pourrait accepter 3 et 3. La figure rend visible cette exclusion : le point de départ n'est pas compris dans la zone rouge.

La même idée s'applique aux ensembles et aux extrema : dire « strict » exclut l'égalité, mais le critère précis dépend de l'objet considéré.

En mathématiques, strict signale que le cas d'égalité est exclu. Pour deux nombres réels désignés par a et b, l'inégalité a < b signifie que a est plus petit que b, sans possibilité que les deux nombres soient égaux. De même, a > b signifie que a est plus grand que b.

Pour deux ensembles nommés A et B, l'inclusion stricte A ⊊ B exige deux faits : chaque élément de A appartient à B, et au moins un élément de B n'appartient pas à A. Pour une fonction f et un point x₀, un maximum local strict signifie qu'il existe un voisinage de x₀ dans lequel tout autre point x du domaine vérifie . Pour un minimum local strict, le signe est inversé. Le voisinage doit contenir d'autres points du domaine pour que cette comparaison exprime effectivement un sommet ou un creux.

Trois objets reprennent les mêmes nombres pour tester le mot « strict ». Données :
• les nombres 3 et 5 ;
• l'ensemble A = {1, 3} et l'ensemble B = {1, 3, 5} ;
• la fonction f, définie pour tout nombre réel x par $f(x)=5-(x-3{)}^{2}f(x)=5-(x-3)^2$.

1. Comparez les nombres : 3 < 5. L'écart vaut 5 − 3 = 2, donc l'égalité est bien exclue.

2. Vérifiez l'inclusion : 1 et 3 appartiennent à B, puis 5 appartient à B sans appartenir à A. Ainsi, A ⊊ B.

3. Évaluez la fonction au point d'abscisse 3 : f(3) = 5. Pour tout autre réel x, le carré de x − 3 est positif, donc f(x) < 5. Le point d'abscisse 3 est donc un maximum strict, même global.

Le contrôle est refaisable en remplaçant x par 2 puis par 4 : dans les deux cas, la valeur obtenue est 4, strictement inférieure à 5.

Pour décrire un intervalle, une borne exclue appelle une inégalité stricte. Dire qu'un réel x est supérieur à 3 conduit à x > 3 ; si 3 est admis, il faut employer l'inégalité large x ≥ 3.

Pour comparer des ensembles, on choisit l'inclusion stricte lorsqu'un élément supplémentaire de B est identifiable. Si les deux ensembles ont exactement les mêmes éléments, on écrit leur égalité plutôt qu'une inclusion stricte.

Pour étudier une courbe, un sommet est strict si toutes les valeurs voisines, hors du sommet lui-même, sont plus petites. Si un plateau de même hauteur touche le point, il peut rester un maximum non strict, mais il n'est pas strict.

Inégalité stricte et inégalité large. La première exclut l'égalité ; la seconde l'autorise. Avec deux valeurs égales à 3, 3 < 3 est faux, mais 3 ≤ 3 est vrai.

Inclusion et appartenance. Une inclusion compare deux ensembles, tandis qu'une appartenance relie un élément à un ensemble. Pour A = {1, 3}, on écrit 1 ∈ A, et non 1 ⊂ A.

Valeur frontière. Remplacer < par ≤ change le verdict au cas charnière. À la frontière a = b, l'inégalité stricte est fausse ; il faut conserver le signe qui correspond réellement à l'énoncé.

Ensembles égaux. L'inclusion de A dans B ne suffit pas à prouver qu'elle est stricte. Il faut exhiber au moins un élément de B absent de A ; sans cet élément, A et B peuvent être égaux.

Extremum local. Un maximum local strict n'est pas nécessairement le plus haut point de tout le domaine, ni l'unique maximum local strict. Il faut préciser le voisinage étudié et ne conclure à un maximum global qu'après comparaison avec tout le domaine.

Point isolé. Si le domaine ne contient aucun autre point assez proche de x₀, la condition formelle peut devenir vraie sans comparaison effective. Certaines conventions l'acceptent ; pour éviter l'ambiguïté, il faut annoncer la convention ou exiger un point d'accumulation du domaine.

Le glossaire Large précise la convention qui autorise l'égalité dans une comparaison.

La fiche Inclusion développe la relation entre deux ensembles avant le critère qui la rend stricte.

La notion de Maximum local permet d'approfondir le rôle du voisinage dans l'étude d'un sommet.