Histoire et cultureNotion · Glossaire
Livet J J
Ingénieur et mathématicien français du XIXe siècle, formé à l’École polytechnique dans l’école issue de Gaspard Monge. En 1806, avec Charles Julien Brianchon, il montre que, dans le cadre usuel de la réciprocité polaire, pour une quadrique non dégénérée et lorsque la réciprocité est définie, la surface réciproque reste une surface du second degré, et publie aussi un mémoire sur le passage des coordonnées rectangulaires aux coordonnées obliques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer Livet dans l'école mathématique issue de Gaspard Monge.
- Distinguer les deux contributions publiées en 1806.
- Refaire une conversion simple entre coordonnées obliques et rectangulaires.
En clair
En 1806, dans le Journal de l'École Polytechnique, Livet publie des travaux de géométrie. Avec Charles Julien Brianchon, il étudie une surface du second degré et la surface réciproque qui lui est associée.
Livet s'intéresse aussi à la manière de décrire un même point avec des axes perpendiculaires ou obliques. Son mémoire sur ce passage relie une figure géométrique à des calculs adaptés au choix des axes.
Définition
Livet J. J. est un ingénieur et mathématicien français du XIXe siècle, formé à l'École polytechnique. Il s'inscrit dans l'école mathématique issue de Gaspard Monge, qui a contribué au développement de la géométrie descriptive et de la géométrie analytique.
Son travail de 1806 avec Charles Julien Brianchon porte sur la réciprocité des surfaces du second degré. Dans le cadre usuel de la réciprocité polaire, pour une quadrique non dégénérée et lorsque la réciprocité est définie, la surface réciproque est encore une quadrique de même dimension. Cette formulation concerne une famille géométrique précise ; elle ne signifie pas que toute surface possède automatiquement une réciproque de même nature.
La même année, Livet publie aussi le mémoire Formules pour passer d'un système de coordonnées rectangulaires à un système de coordonnées obliques. Un système rectangulaire utilise des axes perpendiculaires ; un système oblique conserve deux directions de référence qui ne sont pas nécessairement perpendiculaires. Le changement de système permet de décrire les mêmes points dans une géométrie analytique adaptée à la figure étudiée.
Un exemple, pas à pas
Pour comprendre le passage entre repères, considérons un système oblique dont le premier axe porte le vecteur e₁=(1, 0) et le second le vecteur e₂=(cos 60°, sin 60°). Le point P a pour coordonnées obliques (2, 1), c'est-à-dire P = 2e₁ + e₂.
1. Le premier coefficient vaut 2 : on avance deux fois dans la direction e₁.
2. Le second coefficient vaut 1 : on ajoute une fois le déplacement e₂, incliné de 60° par rapport au premier axe.
3. Dans un repère rectangulaire, les composantes deviennent x = 2 + cos 60° = 5/2 et y = sin 60° = √3/2. Le même point est donc décrit par (5/2, √3/2) dans le repère rectangulaire.
Le contrôle consiste à reconstruire P avec les deux écritures : deux déplacements horizontaux plus un déplacement incliné donnent bien les mêmes composantes rectangulaires. Cet exemple illustre le mémoire de Livet sans attribuer ces valeurs à son texte historique.
En pratique
Dans une figure où les directions naturelles ne sont pas perpendiculaires, des coordonnées obliques peuvent suivre ces directions directement. Le critère est la lisibilité des relations géométriques, et non la présence obligatoire d'angles droits.
Pour comparer deux descriptions d'un même point, on exprime les vecteurs de base du repère oblique dans le repère rectangulaire, puis on additionne leurs multiples. Cette méthode permet de vérifier que le changement de coordonnées conserve le point décrit.
Pour lire le résultat historique de Livet et Brianchon, il faut distinguer la surface du second degré étudiée, sa surface réciproque et le fait que cette dernière appartient à la même famille. Cette distinction évite de réduire le résultat à un simple changement d'axes.
À ne pas confondre
Repère oblique et repère rectangulaire. Un repère oblique n'impose pas la perpendicularité des axes, tandis qu'un repère rectangulaire l'impose. Le cas où l'angle entre les axes vaut 60° tranche immédiatement : il est oblique, pas rectangulaire.
Coordonnées et point géométrique. Les coordonnées sont les nombres associés à un point dans un repère donné ; elles changent lorsque le repère change. Le point P reste le même dans l'exemple, alors que (2, 1) devient (5/2, √3/2).
Surface du second degré et surface réciproque. La première désigne la surface de départ, tandis que la seconde est l'objet associé par la réciprocité étudiée. Les confondre efface le sens de l'énoncé attribué à Livet et Brianchon.
Limites et pièges
Un repère oblique n'est pas un repère sans règle. Ses axes sont deux directions de référence non parallèles, et leurs vecteurs de base doivent permettre de reconstruire le plan. Si les directions deviennent parallèles, les coordonnées ne déterminent plus un point de manière unique ; il faut choisir un autre repère.
Les formules dépendent de l'angle entre les axes. Dans l'exemple, l'angle vaut 60°, ce qui donne cos 60° = 1/2 et sin 60° = √3/2. Remplacer cet angle par un autre sans modifier les composantes rendrait la conversion fausse ; il faut recalculer les projections.
La réciprocité ne porte pas sur une surface quelconque dans l'énoncé source. Le résultat concerne une surface du second degré et sa surface réciproque. Il faut conserver cette famille d'objets au lieu d'étendre la conclusion à toutes les surfaces.
Une date peut réunir des travaux distincts. En 1806, Livet et Brianchon publient le résultat sur les surfaces du second degré, tandis que Livet publie aussi le mémoire sur les coordonnées. Ces deux contributions doivent rester séparées.
Pour aller plus loin
La fiche consacrée à Brianchon Charles permet de replacer le travail commun de 1806 dans le parcours du géomètre associé à Livet.
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