Steiner Jacob

En Suisse, Jacob Steiner grandit sans instruction durant ses premières années. À 18 ans, l'école de Johann Pestalozzi lui ouvre une voie adaptée à sa manière d'apprendre. Il devient ensuite enseignant, puis ses recherches lui apportent une reconnaissance internationale.

Son geste mathématique caractéristique consiste à résoudre des problèmes de géométrie par des intersections, des constructions et des transformations. Au lieu de tout traduire en équations, cette approche synthétique travaille directement avec les figures et leurs relations.

Jacob Steiner (1796–1863) est un mathématicien suisse issu d'une famille paysanne modeste. Privé d'instruction dans ses premières années, il fréquente à 18 ans l'école du pédagogue Johann Pestalozzi (1746–1827). La méthode de Pestalozzi, inspirée des idées de Rousseau, lui convient particulièrement. Steiner devient enseignant ; son indépendance de caractère et ses méthodes pédagogiques originales lui causent toutefois des difficultés.

La qualité de ses travaux lui apporte une reconnaissance internationale. Ami de Crelle et d'Abel, il compte parmi les principaux collaborateurs du Journal de Crelle. Ses recherches concernent surtout la géométrie projective, les coniques, les courbes algébriques ainsi que les problèmes de tangence et de construction.

Steiner est présenté comme le fondateur de la géométrie synthétique moderne. Cette manière de faire se distingue de la géométrie analytique : elle s'appuie principalement sur les relations entre les figures et sur des constructions et transformations géométriques, notamment les polaires réciproques. Sans descendants, Steiner lègue à la fin de sa vie une partie de sa fortune à l'école de son village natal pour l'éducation des enfants pauvres. Une autre partie revient à l'Académie des Sciences de Berlin afin de créer le prix Steiner.

Prenons un cercle, donc une conique, et un point extérieur. Cette construction illustre les polaires réciproques mentionnées parmi les méthodes de Steiner ; les coordonnées servent uniquement à contrôler le résultat.

Données.
Le cercle a pour centre l'origine et pour rayon 5.
Le point extérieur est P, de coordonnées (10 ; 0).
Les deux points de tangence sont nommés A et B.

1. Dans un repère où x et y désignent les coordonnées d'un point, le cercle vérifie : $x^2+y^2=25x^2+y^2=25$.

2. Écrivons A sous la forme (a ; b). Le rayon allant du centre à A est perpendiculaire à la tangente PA. Le produit scalaire donne $10a-(a^2+b^2)=010a-(a^2+b^2)=0$. Comme A appartient au cercle, a² + b² = 25, donc a = 2,5.

3. On obtient alors $b^2=25-{\mathrm{2,5}}^2=\mathrm{18,75}b^2=25-2\{,\}5^2=18\{,\}75$, puis $b=\pm \frac{5\sqrt{3}}{2}\approx \pm \mathrm{4,33}b=\backslash pm\backslash frac\{5\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\backslash approx\backslash pm4\{,\}33$. Ainsi A et B ont la même abscisse 2,5 et des ordonnées opposées.

4. La droite AB a donc pour équation x = 2,5 : c'est la polaire de P pour ce cercle. Réciproquement, si un point Q de coordonnées (2,5 ; q) se trouve sur cette droite, sa polaire vérifie $\mathrm{2,5}x+qy=252\{,\}5x+qy=25$, et P la vérifie puisque 2,5 × 10 = 25. Le calcul contrôle ainsi la réciprocité visible dans la construction.

Dans un problème de tangence ou de construction, l'approche associée à Steiner invite à chercher d'abord des intersections et des transformations de la figure. Si le problème est déjà donné par des coordonnées et demande un calcul explicite, la géométrie analytique offre une autre voie.

Pour lire ses recherches, le thème observé donne le premier repère : coniques, courbes algébriques, géométrie projective ou tangence. La présence d'une polaire ou d'une transformation signale ensuite le type de relation géométrique à suivre.

Dans l'histoire des mathématiques, le Journal de Crelle fournit un contexte concret à sa reconnaissance : Steiner en devient l'un des principaux collaborateurs. Pour sa postérité institutionnelle, le repère pertinent est le prix Steiner, créé grâce à son legs à l'Académie des Sciences de Berlin.

Géométrie synthétique et géométrie analytique. La première raisonne ici par intersections, constructions et transformations ; la seconde traduit la figure dans un système analytique. Face au cercle de l'exemple, construire les tangentes relève du regard synthétique, tandis que vérifier leurs coordonnées relève du calcul analytique.

Géométrie synthétique et géométrie projective. La géométrie synthétique désigne une manière de raisonner, alors que la géométrie projective est l'un des domaines étudiés par Steiner. Un problème projectif peut donc être abordé par une méthode synthétique sans que les deux expressions soient synonymes.

Méthodes pédagogiques et méthodes géométriques. La source qualifie d'originales les méthodes d'enseignement de Steiner, mais décrit séparément ses méthodes mathématiques. Une difficulté rencontrée comme enseignant ne constitue donc pas une propriété de sa géométrie.

Autodidacte ne signifie pas sans formation. Steiner ne reçoit aucune instruction durant ses premières années, mais il fréquente l'école de Pestalozzi à 18 ans. Il faut conserver ces deux moments au lieu d'effacer le second.

Un domaine ne résume pas toute son œuvre. Réduire Steiner à la seule géométrie projective ferait disparaître les coniques, les courbes algébriques et les problèmes de tangence et de construction. Le symptôme est une liste amputée ; le correctif consiste à restituer ces axes ensemble.

Une technique ne résume pas la méthode. Les polaires réciproques appartiennent à l'arsenal synthétique cité, mais celui-ci comprend aussi intersections, constructions et transformations. Il faut présenter les polaires comme un exemple, non comme une définition exhaustive.

Le legs comporte deux destinations. Une part revient à l'école du village natal pour l'éducation des enfants pauvres ; une autre va à l'Académie des Sciences de Berlin pour créer le prix Steiner. N'en retenir qu'une rendrait le récit incomplet.

La fiche géométrie projective précise l'un des principaux domaines de recherche de Steiner.

L'entrée conique développe une famille de courbes au cœur de ses travaux.

La notion de courbe algébrique éclaire un autre axe mathématique explicitement associé à Steiner.