mesure de Peano

Imaginez une forme dessinée dans le plan, dont l’aire n’est pas directement calculable. On peut placer des polygones à l’intérieur de cette forme, puis en dessiner d’autres qui la recouvrent. Les premières donnent des aires trop petites ou égales, les secondes des aires trop grandes ou égales.

La mesure de Peano existe lorsque ces deux encadrements se resserrent jusqu’à une même valeur. Elle transforme ainsi une idée de limite entre formes simples en un critère précis pour décider si une aire est bien définie.

La mesure de Peano, aussi appelée P-mesure, s’applique dans le cadre usuel à un ensemble borné E de points du plan euclidien. Elle compare deux familles de polygones : ceux qui sont entièrement contenus dans E et ceux qui contiennent entièrement E. Chaque polygone possède une aire au sens usuel ; si la famille intérieure est vide, on convient que sa borne supérieure vaut 0.

La borne supérieure des aires des polygones intérieurs est la meilleure approximation par défaut. La borne inférieure des aires des polygones extérieurs est la meilleure approximation par excès. L’ensemble E est P-mesurable lorsque ces deux valeurs sont égales ; cette valeur commune est alors sa mesure de Peano.

Le critère porte donc sur l’accord entre approximation intérieure et approximation extérieure. Il ne demande pas qu’un polygone particulier réalise nécessairement chacune des bornes : des suites de polygones peuvent seulement s’en approcher.

On rencontre la mesure de Peano lorsqu’une aire plane est décrite par un ensemble de points plutôt que par une formule immédiate. Le support est alors la région E étudiée dans le plan.

Trois indices permettent de reconnaître le contexte : des polygones sont placés à l’intérieur de la région, d’autres la recouvrent, et leurs aires servent à former deux encadrements. L’information recherchée est l’aire limite, lorsque les deux encadrements ont la même borne.

Pour lire le critère, on distingue d’abord l’approximation intérieure de l’approximation extérieure. La première ne dépasse jamais l’aire cherchée ; la seconde ne lui est jamais inférieure.

On procède ensuite en trois temps : on considère tous les polygones contenus dans E, on considère tous ceux qui contiennent E, puis on compare les deux bornes obtenues. Le bon réflexe consiste à suivre les inclusions, car une forme visuellement proche peut être du mauvais côté de l’encadrement.

Si les bornes coïncident, leur valeur commune est la P-mesure de E. Si elles restent séparées, le critère de Peano ne permet pas de déclarer E P-mesurable.

Considérons le carré ouvert unité E = ]0,1[ × ]0,1[. On travaille en unités d’aire carrées. Pour l’encadrer, prenons un carré intérieur de côté 1 − 2ε et un carré extérieur de côté 1 + 2ε, avec 0 < ε < 1/2.

L’aire du carré intérieur vaut $(1-2\epsilon {)}^2(1-2\backslash varepsilon)^2$ et celle du carré extérieur vaut $(1+2\epsilon {)}^2(1+2\backslash varepsilon)^2$.
Comme E est contenu dans le carré fermé unité, toute aire intérieure est au plus égale à 1. Comme un polygone extérieur est fermé, le fait qu’il contienne E implique qu’il contient aussi le carré fermé unité ; toute aire extérieure est donc au moins égale à 1.
La première famille d’aires contient des valeurs qui tendent vers 1 quand ε tend vers zéro : sa borne supérieure vaut donc 1.
La seconde famille contient des valeurs qui tendent vers 1 : sa borne inférieure vaut donc 1.

La mesure de Peano de E est ainsi égale à 1 unité d’aire. Le contrôle consiste à vérifier que l’écart entre les deux aires est $(1+2\epsilon {)}^2-(1-2\epsilon {)}^2=8\epsilon (1+2\backslash varepsilon)^2-(1-2\backslash varepsilon)^2=8\backslash varepsilon$, donc qu’il devient arbitrairement petit avec ε.

Pour une région polygonale fermée, donc elle-même admissible comme polygone, l’approximation intérieure et l’approximation extérieure peuvent être choisies identiques à la région elle-même. Le critère se vérifie alors directement par son aire.

Pour une frontière courbe, on utilise des polygones inscrits et circonscrits de plus en plus proches. Le critère de Peano est pertinent lorsque l’écart entre les deux aires peut être rendu aussi petit que souhaité.

Pour vérifier un raisonnement, il faut donc contrôler les inclusions avant de comparer les aires. Une approximation intérieure qui déborde la région n’est pas une approximation intérieure, même si son dessin paraît proche.

La P-mesure ne se confond pas avec l’aire d’un polygone particulier. Le test porte sur la borne supérieure de toutes les aires intérieures et la borne inférieure de toutes les aires extérieures. Un seul polygone ne suffit donc pas à conclure.

Elle ne se confond pas non plus avec une simple mesure approchée. Une valeur numérique obtenue avec deux polygones donne un encadrement ; la P-mesure est la valeur commune des deux bornes lorsque l’accord est établi.

Le cas décisif est celui où les deux bornes ne coïncident pas. Le symptôme est un écart persistant entre la meilleure aire intérieure et la meilleure aire extérieure. Dans ce cas, le critère fourni ne permet pas de conclure à la P-mesurabilité.

Un autre piège consiste à confondre une famille de polygones avec un polygone optimal. Les bornes peuvent être approchées sans être atteintes par un élément unique. Il faut alors raisonner sur les limites des aires, et non chercher obligatoirement un polygone qui réalise exactement la borne.

Dans l’exemple du carré ouvert unité, chaque ε doit rester strictement positif pendant l’encadrement, puis tendre vers zéro. Remplacer directement ε par zéro dans un carré intérieur ferait perdre son inclusion dans le carré ouvert.

Le critère de Peano invite à voir la mesurabilité comme une stabilité de l’aire lorsqu’on remplace une région compliquée par des polygones. Cette perspective prépare l’étude des constructions modernes de la mesure, où l’on généralise les familles de formes utilisées pour approcher les ensembles.