GéométrieUnité de mesure · Glossaire
Mesure régulière
Une mesure de Borel sur un espace topologique séparé est dite régulière si elle peut être approchée à la fois par des compacts de l'intérieur (régularité intérieure) et par des ouverts de l'extérieur (régularité extérieure). Formellement, pour tout borélien A, la mesure de A est à la fois l'infimum des mesures des ouverts contenant A et le supremum des mesures des compacts contenus dans A. Les mesures de Radon sur les espaces localement compacts séparés sont des exemples fondamentaux de mesures régulières.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer régularité intérieure et régularité extérieure.
- Lire la définition par infimum sur les ouverts et supremum sur les compacts.
- Vérifier la double approximation sur l'intervalle (0, 1).
- Repérer les conventions et les difficultés propres aux mesures infinies.
En clair
Sur une droite, prenons l'intervalle ouvert compris entre 0 et 1. On peut le serrer entre un segment fermé un peu plus petit, de 0,1 à 0,9, et un intervalle ouvert un peu plus grand, de −0,1 à 1,1. Leurs longueurs, 0,8 et 1,2, encadrent la longueur 1 de l'intervalle initial.
Une mesure est régulière quand ce resserrement peut devenir aussi précis qu'on le souhaite : des compacts contenus dans l'ensemble l'approchent par-dessous, tandis que des ouverts qui le contiennent l'approchent par-dessus.
Définition
Soit X un espace topologique séparé, et soit μ une mesure définie sur les boréliens de X, c'est-à-dire sur la tribu engendrée par ses ouverts. La régularité extérieure signifie que la mesure de tout borélien A est l'infimum des mesures des ouverts qui contiennent A. La régularité intérieure signifie que cette même valeur est le supremum des mesures des compacts contenus dans A.
Avec U pour un ouvert et K pour un compact, les deux conditions s'écrivent ensemble :
Une mesure qui satisfait ces deux égalités pour tous les boréliens est dite régulière au sens retenu ici. Les mesures de Radon sur les espaces localement compacts séparés fournissent la famille d'exemples mise en avant par la définition source. Selon les ouvrages, le mot « Radon » ou l'étendue exigée de la régularité intérieure peuvent toutefois faire partie des conventions de définition.
Où on le rencontre
On rencontre cette notion lorsqu'un espace porte à la fois une topologie et une mesure. Les ouverts décrivent les voisinages ; les compacts sont les sous-ensembles qui jouent le rôle de morceaux intérieurs contrôlables ; les boréliens sont les ensembles mesurables construits à partir des ouverts.
Sur la droite réelle munie de sa topologie habituelle, les intervalles ouverts et les segments fermés bornés rendent ces marqueurs visibles. La mesure de Lebesgue leur attribue leur longueur. Dans ce cadre, la régularité relie donc une information quantitative, la mesure, à la forme topologique des ensembles qui l'encadrent.
Le mode d'emploi
La grandeur lue est μ(A), la mesure d'un borélien A. Pour interpréter la double approximation, procédez dans cet ordre. 1. Fixez A et la mesure μ sur l'espace topologique considéré. 2. Cherchez des compacts K contenus dans A : leurs mesures donnent des valeurs inférieures. 3. Cherchez des ouverts U contenant A : leurs mesures donnent des valeurs supérieures. 4. Vérifiez que les deux familles peuvent se resserrer jusqu'à μ(A).
L'inclusion, et non la proximité dessinée, est la convention décisive : il faut K ⊆ A ⊆ U. Un ensemble peut sembler presque confondu avec A tout en débordant du mauvais côté. Le bon réflexe consiste à contrôler d'abord les inclusions, puis l'écart entre les mesures.
Un exemple, pas à pas
Sur la droite réelle, considérons la mesure de Lebesgue λ et l'intervalle A = (0, 1). Le schéma superpose un compact intérieur, A et un ouvert extérieur, avec une même marge de 0,1 de chaque côté.
Données.
A = (0, 1), donc λ(A) = 1.
K = [0,1 ; 0,9], compact contenu dans A.
U = (−0,1 ; 1,1), ouvert contenant A.
A = (0, 1), donc λ(A) = 1.
K = [0,1 ; 0,9], compact contenu dans A.
U = (−0,1 ; 1,1), ouvert contenant A.
Étape 1. La longueur du compact K vaut 0,9 − 0,1 = 0,8. Ainsi, λ(K) = 0,8 ≤ λ(A).
Étape 2. La longueur de l'ouvert U vaut 1,1 − (−0,1) = 1,2. Ainsi, λ(A) ≤ λ(U) = 1,2.
Étape 3. Pour toute marge positive ε inférieure à 0,5, les ensembles Kε = [ε, 1 − ε] et Uε = (−ε, 1 + ε) ont pour mesures 1 − 2ε et 1 + 2ε. Ces deux valeurs tendent vers 1 quand ε tend vers 0.
Contrôle. Avec ε = 0,01, on obtient 0,98 ≤ 1 ≤ 1,02. Diminuer encore ε resserre l'encadrement sans changer les inclusions Kε ⊆ A ⊆ Uε.
En pratique
Pour estimer la mesure d'un borélien compliqué, on choisit un compact intérieur et un ouvert extérieur dont les mesures sont plus accessibles. Si leur écart est assez petit pour la précision recherchée, cet encadrement remplace une description exacte de l'ensemble.
En intégration, la régularité aide à ramener des questions portant sur des boréliens à des ouverts ou à des compacts. On préfère un compact quand il faut contrôler une contribution depuis l'intérieur ; on préfère un ouvert pour fournir une majoration extérieure.
En probabilité sur un espace topologique où la mesure considérée est régulière, un événement borélien peut être encadré par des événements topologiquement plus maniables. Avant d'utiliser ce geste, il faut toutefois vérifier les hypothèses de régularité du cadre.
À ne pas confondre
Mesure de Borel. Cette expression indique sur quels ensembles la mesure est définie ; elle ne garantit pas à elle seule les deux approximations. Le critère qui tranche est l'égalité avec les infimums ouverts et les supremums compacts.
Mesure localement finie. Elle donne une mesure finie à des voisinages appropriés de chaque point, selon le cadre retenu. La régularité porte au contraire sur l'approximation des boréliens. Une mesure peut donc satisfaire une propriété sans que l'autre soit acquise par le seul vocabulaire.
Mesure de Radon. Le terme inclut souvent une forme de régularité et une condition de finitude sur les compacts, mais les conventions varient. Dans un espace localement compact séparé, la source retient les mesures de Radon comme exemples fondamentaux ; elle n'identifie pas les deux appellations dans tous les espaces.
Limites et pièges
Une convention à vérifier. Certains textes demandent d'abord la régularité intérieure sur les ouverts, puis l'étendent sous des hypothèses supplémentaires. Le symptôme est une définition qui ne quantifie pas sur tous les boréliens. Il faut alors reprendre exactement le domaine annoncé par l'auteur.
Une mesure infinie. Si μ(A) est infinie, demander un compact K tel que μ(K) soit à moins de ε de μ(A) n'a pas de sens. La condition intérieure se lit alors ainsi : pour tout seuil fini M, on peut trouver dans A un compact K dont la mesure dépasse M.
Des inclusions non négociables. Pour l'exemple conducteur, ε = 0 produit K0 = [0, 1], qui n'est pas contenu dans A = (0, 1). La valeur charnière est donc ε > 0 ; pour conserver aussi ε < 1 − ε, on choisit 0 < ε < 0,5.
Pas de régularité automatique. Une mesure borélienne sur un espace topologique quelconque n'est pas régulière par simple définition. Si aucun théorème ne couvre l'espace et la mesure utilisés, les deux égalités doivent être démontrées au lieu d'être supposées.
Pour aller plus loin
La régularité ouvre sur l'étude des mesures de Radon et sur le rôle précis des hypothèses topologiques. Une suite naturelle consiste à examiner quelles propriétés de l'espace permettent d'étendre l'approximation depuis les ouverts vers tous les boréliens, puis comment la finitude sur les compacts intervient dans les théorèmes d'intégration et de représentation.
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