Mohr Georg

En 1672, le mathématicien danois Georg Mohr publie Euclide Danicus. Sur une feuille, le compas semble seulement capable de tracer des cercles et de reporter des distances. Mohr montre pourtant qu’il peut aussi déterminer tous les points qu’une construction à la règle et au compas ferait apparaître.

La nuance est essentielle : le compas construit les points, mais ne trace pas les droites qui les relient. Une droite peut donc être représentée par deux points construits, sans être dessinée.

Georg Mohr (1640–1697) est un mathématicien danois. D’abord instruit par ses parents, il étudie la géométrie auprès de Christiaan Huygens aux Pays-Bas. Il complète ensuite sa formation en France et en Grande-Bretagne, puis rentre au Danemark. Il correspond avec plusieurs mathématiciens, notamment Leibniz et Tschirnhaus.

Son résultat principal est aujourd’hui appelé théorème de Mohr-Mascheroni. Il affirme que toute construction géométrique réalisable à la règle et au compas peut être effectuée avec le compas seul, au sens où les mêmes points peuvent être déterminés. Le tracé effectif des droites reste exclu : une droite utile à la construction est encodée par des points, non dessinée.

Mohr publie ce résultat dans Euclide Danicus en 1672. L’ouvrage passe alors inaperçu et n’est redécouvert qu’en 1928 dans une librairie. Lorenzo Mascheroni redémontre indépendamment le théorème en 1797, soit 125 ans après la publication de Mohr. Un autre titre, Euclide Curiosus, a été identifié parmi les ouvrages que Mohr aurait écrits, d’après le témoignage de son fils.

On veut obtenir, sans règle, un point situé à la même distance de deux points distincts A et B. Les données sont les points A et B, ainsi que l’ouverture du compas égale à la distance AB. Aucun autre point ni aucune droite ne sont donnés.

1. On place la pointe sèche en A et l’on trace le cercle passant par B.

2. Sans changer l’ouverture, on place la pointe sèche en B et l’on trace le cercle passant par A.

3. Les deux cercles se coupent en deux points, nommés C et D. On choisit C comme résultat de la construction.

4. Le premier cercle garantit AC = AB. Le second garantit BC = BA. On obtient donc AC = BC = AB, sans avoir tracé de droite.

Le contrôle est refaisable au compas : l’ouverture AB doit reporter exactement A sur le cercle centré en B, B sur celui centré en A, puis C sur les deux cercles. Le point D satisfait le même contrôle. La figure rend visibles ces deux intersections et l’égalité des rayons.

Pour lire une construction dite « au compas seul », on repère d’abord ce qui doit être obtenu. Si le résultat attendu est un ensemble de points, le théorème de Mohr-Mascheroni s’applique. Si une droite doit être matériellement tracée, la règle reste l’alternative adaptée.

Pour contrôler une procédure, on vérifie que chaque nouveau cercle possède un centre déjà construit et un rayon déterminé par des points disponibles. Si une étape demande de choisir librement un point sur une droite non tracée, la procédure n’est pas encore une construction au compas seul.

Pour attribuer le résultat, la date tranche le contexte : Mohr le publie en 1672, tandis que Mascheroni le redémontre indépendamment en 1797. Le nom composé « Mohr-Mascheroni » rappelle à la fois l’antériorité de Mohr et la redécouverte indépendante de Mascheroni.

Construire une droite et tracer une droite. Dans le théorème, construire signifie déterminer les points nécessaires. Deux points peuvent représenter une droite, mais le compas ne dessine pas le trait rectiligne qui les joint.

Preuve de Mohr et preuve de Mascheroni. Elles établissent le même résultat, mais ne constituent pas une publication commune. Un texte daté de 1672 renvoie à Mohr ; la redémonstration indépendante de 1797 renvoie à Mascheroni.

Le tracé des droites reste hors résultat. Si la sortie exigée est un segment visible ou une droite effectivement dessinée, le symptôme est immédiat : le compas ne produit que des arcs. Il faut alors ajouter une règle pour tracer le trait.

Les données doivent permettre chaque cercle. Un cercle de construction doit avoir un centre et un rayon déterminés par des points déjà disponibles. Une étape fondée sur un point choisi arbitrairement sur une droite invisible doit être remplacée par une construction de ce point.

Le cas A = B dégénère. Dans l’exemple, la distance AB vaudrait alors zéro : les deux cercles se réduiraient au même point et C, D n’existeraient pas. Il faut partir de deux points distincts.

Le théorème porte sur un instrument géométrique idéal. Une légère erreur d’ouverture sur un compas matériel déplace les intersections observées. Pour une réalisation physique, on contrôle donc la précision de l’instrument au lieu d’attendre une égalité parfaite.

Mascheroni Lorenzo — Situer la redémonstration indépendante de 1797 qui a durablement associé Mascheroni au résultat de Mohr.

Constructions géométriques : une série mythique — Replacer le compas seul dans l’univers plus large des problèmes de construction géométrique.