problème de Napoléon

Imaginez un cercle déjà tracé, mais dont le point central a disparu. Vous disposez seulement d’un compas : aucune règle ne peut servir à tracer un diamètre ou une droite. Le défi consiste à retrouver exactement ce centre en traçant des cercles auxiliaires et en utilisant leurs points d’intersection.

Ce défi porte le nom de problème de Napoléon, ou problème de Napoléon-Mascheroni. L’intérêt vient autant de la contrainte imposée à l’instrument que du point recherché.

Le problème de Napoléon est un problème de construction en géométrie plane. La donnée est un cercle déjà tracé, dont le centre n’est pas indiqué. L’objectif est de construire ce centre avec le compas seul : la règle est exclue, et les nouveaux points proviennent des intersections de cercles auxiliaires.

Le nom de problème de Napoléon-Mascheroni rappelle deux traditions. Le résultat est traditionnellement attribué à Napoléon Ier, mais la source ne permet pas d’assurer que sa démonstration soit de lui. Lorenzo Mascheroni étudie systématiquement les constructions au compas seul dans Géométrie du compas. Sa construction de ce centre diffère sensiblement de celle généralement attribuée à Napoléon.

Construire le centre signifie obtenir un point déterminé par les opérations autorisées, et non le placer à l’œil. Pour contrôler le résultat, on peut choisir trois points distincts A, B et C sur le cercle. Le point construit O doit vérifier $OA=OB=OCOA=OB=OC$ : il est alors le centre du cercle passant par A, B et C.

Un cercle est tracé sans centre visible. Trois points distincts A, B et C sont marqués sur sa circonférence. La seule opération de tracé autorisée consiste à dessiner un cercle au compas à partir d’un centre et d’une ouverture déjà obtenus.

1. Prenez comme donnée un point final proposé comme centre après une construction au compas seul. Cet exemple ne déroule pas cette construction : il guide uniquement le contrôle du point proposé, sans le présenter comme une méthode pour le produire.

2. Nommez O le point final proposé comme centre. Ouvrez le compas de O jusqu’à A, puis comparez cette ouverture aux distances de O à B et de O à C.

3. Le contrôle attendu est $OA=OB=OCOA=OB=OC$. Les trois points distincts du cercle déterminent ainsi le même centre O ; une égalité portant sur deux points seulement ne suffirait pas à isoler ce point.

La figure présente ce contrôle final. Les segments en pointillés rendent visibles les trois ouvertures égales du compas ; ils ne sont pas des traits employés pendant la construction.

Dans un exercice de construction, commencez par vérifier la liste des instruments autorisés. Si la règle est interdite, un segment tracé pour atteindre le centre invalide la procédure, même si le point obtenu est juste.

Pour examiner une solution proposée, distinguez la construction de son contrôle. La construction doit n’utiliser que le compas ; la vérification peut comparer les distances du point obtenu à trois points distincts du cercle.

Dans un exposé historique, conservez le double nom Napoléon-Mascheroni lorsque les deux traditions sont évoquées. Si l’auteur exact de la démonstration est en jeu, indiquez que l’attribution à Napoléon reste traditionnelle et incertaine.

Construction au compas seul et construction à la règle et au compas. Le critère est l’instrument effectivement employé. Dès qu’une droite est tracée à la règle pour obtenir un point, la procédure ne répond plus au problème de Napoléon.

Problème et démonstration attribuée à Napoléon. Le problème est bien identifié, tandis que la paternité de la démonstration n’est pas certaine. Employer le nom traditionnel ne transforme donc pas l’attribution historique en fait établi.

Un centre placé à vue n’est pas construit. Le symptôme est l’absence d’une suite d’intersections obtenues au compas. Il faut produire le point à partir des seules opérations autorisées, puis le contrôler.

Deux distances égales ne suffisent pas. Plusieurs points peuvent être à la même distance de A et de B. Le contrôle doit porter sur trois points distincts A, B et C du cercle afin d’identifier leur centre commun.

Les deux constructions historiques ne sont pas interchangeables. La construction de Mascheroni diffère sensiblement de celle attribuée à Napoléon. Il faut donc préciser laquelle est décrite au lieu d’assembler leurs étapes.

L’attribution reste une limite documentaire. Le goût de Napoléon Ier pour les mathématiques est documenté, mais cela ne prouve pas qu’il ait rédigé la démonstration. Il faut présenter sa paternité comme traditionnelle, non certaine.

Dans l’œil d’Euclide prolonge la réflexion sur la géométrie et la manière dont une construction fait apparaître des relations exactes.