GéométrieThéorème · Glossaire
théorème de Mohr-Mascheroni
Le théorème de Mohr-Mascheroni affirme que tout point constructible à la règle et au compas l'est aussi au compas seul, à partir des mêmes données initiales. Les nouveaux points sont alors obtenus comme intersections de cercles dont les centres sont déjà construits et les rayons égaux à des distances entre points construits. Une droite peut ainsi être déterminée par deux de ses points sans être tracée : la règle reste utile pour dessiner le trait, pas pour construire ces points.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer la construction de points du tracé matériel d’une droite.
- Reconnaître les centres et rayons autorisés dans une étape au compas seul.
- Vérifier sur deux cercles une construction simple et ses deux solutions.
- Identifier les cas sans intersection, de tangence et de données initiales insuffisantes.
En clair
Posez deux pointes de compas sur deux points déjà repérés. Avec leur distance comme rayon, vous pouvez tracer de nouveaux cercles. Leurs intersections deviennent de nouveaux points disponibles.
Le théorème affirme qu’en répétant uniquement ce geste, on peut retrouver tous les points qu’une construction classique obtiendrait avec une règle et un compas. La règle reste utile pour dessiner un trait continu, mais pas pour déterminer les points qui définissent ce trait.
Définition
Le théorème de Mohr-Mascheroni est un résultat de géométrie constructive. Il porte sur les points que l’on peut obtenir à partir de points déjà connus. Une étape au compas consiste à tracer deux cercles dont les centres sont connus et dont chaque rayon est une distance entre deux points déjà construits. Toute intersection de ces cercles peut alors devenir un nouveau point construit.
Le résultat établit une équivalence de possibilités : chaque point constructible par une suite d’opérations à la règle et au compas peut aussi être obtenu par une suite d’opérations au compas seul. Il ne prétend pas que les deux suites ont les mêmes étapes ni la même longueur.
Dans ce cadre, « construire une droite » signifie déterminer deux points de cette droite. Le compas seul ne trace pas le trait rectiligne entre eux. Cette distinction explique pourquoi le théorème concerne les points constructibles et non la reproduction matérielle de tous les traits d’une figure.
Le principe
Si un point peut être construit à partir des données initiales par une suite finie d’opérations à la règle et au compas, alors ce même point peut être construit à partir des mêmes données au compas seul. Chaque nouveau point est obtenu comme intersection de deux cercles admissibles, c’est-à-dire de centres déjà connus et de rayons égaux à des distances déjà disponibles.
Quand l'utiliser
Le théorème s’applique à une construction de points dans le plan, à partir d’un ensemble initial de points et de distances. À chaque étape au compas, le centre choisi doit déjà être construit, et le rayon doit reproduire la distance entre deux points déjà construits. Le point suivant doit être une intersection effective de deux cercles ainsi autorisés.
Si deux cercles choisis ne se rencontrent pas, cette étape ne fournit aucun nouveau point : il faut choisir d’autres cercles admissibles. Si le but est de laisser sur le papier une droite entière, le compas seul ne suffit pas matériellement ; le théorème garantit seulement la construction de deux points qui la déterminent.
Un exemple, pas à pas
On connaît deux points distincts A et B. La distance entre eux, notée AB, sert de rayon. Le but est d’obtenir un point C situé à la distance AB de chacun des deux points, sans utiliser de règle.
1. Centrez le compas en A, ouvrez-le à la distance AB et tracez un cercle.
2. Sans changer l’ouverture, centrez le compas en B et tracez un second cercle.
3. Choisissez l’une de leurs deux intersections et nommez-la C.
2. Sans changer l’ouverture, centrez le compas en B et tracez un second cercle.
3. Choisissez l’une de leurs deux intersections et nommez-la C.
Le contrôle se refait au compas : les distances AC et BC doivent toutes deux reproduire l’ouverture AB. Le point C est donc obtenu selon la règle du compas seul. L’autre intersection, nommée D dans la représentation, satisfait le même contrôle et constitue une seconde solution.
En pratique
Pour analyser une construction classique, on distingue les traits dessinés des points réellement nécessaires. Lorsqu’une droite ne sert qu’à repérer une intersection, le théorème assure qu’une construction au compas seul peut retrouver ce point.
Pour construire un milieu, une quatrième proportionnelle ou l’intersection de deux droites, on peut rechercher une procédure au compas seul. Une règle reste préférable si le résultat attendu est le trait droit lui-même, visible sur la feuille.
Pour contrôler une étape, on vérifie deux informations : le centre du cercle appartient-il déjà aux points connus, et son rayon recopie-t-il une distance déjà construite ? Si l’une manque, l’étape ne respecte pas le modèle du théorème.
À ne pas confondre
Construire au compas seul et construire à la règle et au compas. Le critère est l’instrument utilisé à chaque étape. Les deux cadres atteignent les mêmes points d’après le théorème, mais une construction qui trace directement une droite appartient au second cadre.
Déterminer une droite et tracer une droite. Deux points distincts suffisent pour déterminer mathématiquement une droite. Obtenir ces deux points au compas relève du théorème ; dessiner le trait rectiligne qui les joint exige encore une règle.
Limites et pièges
Cercles sans intersection. Deux cercles admissibles peuvent être disjoints. Le symptôme est immédiat : aucun nouveau point n’apparaît. Cette paire de cercles ne constitue donc pas une étape productive et doit être remplacée.
Cercles tangents ou sécants. Une tangence fournit un seul point d’intersection, tandis que deux cercles sécants en fournissent deux. Dans le second cas, la construction doit préciser lequel des deux points est retenu, ou accepter les deux solutions comme dans l’exemple.
Données initiales insuffisantes. Le compas ne crée pas arbitrairement un centre ou une longueur de départ. Chaque cercle exige un centre déjà connu et un rayon égal à une distance déjà disponible ; sinon l’opération sort du cadre annoncé.
Équivalence des résultats, pas des dessins. Le théorème reproduit les points constructibles, mais il ne remplace pas le tracé continu d’une droite. Pour rendre cette droite visible, il faut ensuite employer une règle ou un autre dispositif de tracé rectiligne.
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