pavage d'Ammann

Imaginez un assemblage de pièces en volume qui remplit l'espace sans répéter exactement le même motif par translation. Les pièces sont des rhomboèdres, c'est-à-dire des volumes dont les faces sont des losanges. Deux formes de pièces suffisent : leurs faces sont des losanges liés par le même rapport doré, mais leurs angles aigus et obtus diffèrent. La règle décisive concerne les diagonales de ces losanges : leur rapport est le nombre d'or. Le résultat ressemble, en trois dimensions, à un pavage de Penrose du plan.

Un pavage d'Ammann est un remplissage de l'espace construit avec deux types de rhomboèdres d'Ammann. Un rhomboèdre est un volume limité par des faces en forme de losange ; chaque type possède des faces losangiques congruentes en son sein, mais les deux types ont des angles de faces différents. On peut les construire directement à partir de trois vecteurs de même longueur, dont les angles sont choisis pour que les faces soient des losanges au rapport de diagonales du nombre d'or, ou les obtenir par une déformation affine contrôlée qui conserve la structure de parallélépipède.

Les rhomboèdres sont ensuite assemblés face contre face dans l'espace. L'arrangement non périodique du pavage d'Ammann étudié ici peut faire réapparaître des motifs, mais aucune translation exacte ne reproduit tout le pavage. Cette propriété en fait un modèle géométrique pertinent pour décrire la structure de certains quasi-cristaux. Le modèle généralise ainsi dans l'espace le rôle des pavages de Penrose dans le plan.

Pour suivre la règle sur une face, considérons un losange issu d'un rhomboèdre d'Ammann. Les données sont les suivantes : la petite diagonale mesure 10 cm ; la grande diagonale doit être dans le rapport du nombre d'or avec la petite ; pour un tracé pratique, on utilise l'approximation 1,618 du nombre d'or.

Avec la valeur décimale utilisée pour le tracé, le calcul donne exactement 10 × 1,618 = 16,18 cm ; géométriquement, cette valeur approche le nombre d'or φ.
Le rapport mesuré dans la représentation est alors 16,18 ÷ 10 = 1,618 dans ce modèle décimal, et il est approximativement égal à φ.
La face respecte ainsi, à la précision du tracé, la condition du pavage d'Ammann : le rapport de ses diagonales approche le nombre d'or. Un contrôle consiste à diviser la plus grande diagonale par la plus petite et à comparer le résultat à 1,618, en tenant compte de la précision de la règle.

Cette face ne suffit pas à constituer le pavage complet : il faut encore assembler dans l'espace les deux types de rhomboèdres, face contre face, pour obtenir le remplissage pseudo-périodique.

Cette fiche ne détaille pas l'assemblage complet d'une maquette. Elle se concentre sur le contrôle géométrique d'une face : on identifie un losange sur un rhomboèdre et l'on vérifie que ses diagonales suivent le rapport du nombre d'or. Les deux types de rhomboèdres et leur assemblage spatial restent nécessaires pour former le pavage complet.

Pour vérifier une face, on mesure ses deux diagonales et on divise la grande par la petite. Un rapport proche de 1,618 est compatible avec un tracé approché ; une construction exacte demande de respecter le nombre d'or, et non une décimale limitée.

Pour étudier un quasi-cristal, on utilise ce pavage comme modèle géométrique. Il faut alors observer l'organisation des volumes dans l'espace, plutôt que chercher une répétition exacte par translation comme dans un pavage périodique.

Un pavage d'Ammann ne se confond pas avec un pavage de Penrose. Le critère qui tranche est la dimension : le pavage d'Ammann remplit l'espace en trois dimensions avec des rhomboèdres, tandis que le pavage de Penrose est une organisation dans le plan. Leur analogie porte sur le caractère pseudo-périodique et l'absence de translation exacte, pas sur leurs pièces ni sur leur dimension.

Une mesure décimale ne donne qu'une vérification approchée. Si le rapport des diagonales vaut environ 1,618, le tracé est compatible avec le nombre d'or à la précision de la mesure ; cela ne prouve pas une égalité exacte. Il faut conserver la condition géométrique et indiquer l'incertitude de l'instrument.

Un seul rhomboèdre, ou une seule face losange, ne constitue pas un pavage d'Ammann. Le symptôme est un objet isolé sans remplissage de l'espace. Il faut assembler les deux types de volumes ; c'est cet assemblage qui produit le remplissage pseudo-périodique.

Enfin, pseudo-périodique ne signifie pas périodique. Si une translation exacte reproduit tout le motif, cette observation contredit la propriété annoncée pour le pavage d'Ammann ; il faut vérifier qu'il s'agit bien de l'arrangement considéré et non d'un fragment trop petit pour révéler l'absence de répétition.

Pour prolonger la comparaison, le pavage de Penrose montre dans le plan le type d'organisation pseudo-périodique que le pavage d'Ammann généralise dans l'espace. Le nombre d'or permet de replacer le rapport des diagonales dans le vocabulaire des proportions utilisé par la construction.