GéométrieNotion · Glossaire
perspectographe
Un perspectographe est un instrument mécanique ou optique qui construit la perspective conique d’une scène ou d’un objet sur un tableau. Pour un œil et un tableau fixes, l’image d’un point est l’intersection du rayon reliant ce point à l’œil avec le tableau : elle est donc déterminée lorsque leurs positions sont connues dans un même repère. L’instrument sert ainsi à reporter ou mesurer avec précision une scène en perspective.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle de l’œil et du plan du tableau.
- Refaire un calcul de projection avec des distances données.
- Distinguer la vitre quadrillée de Dürer du mécanisme de Lambert.
- Reconnaître les limites liées au point de vue et aux distances manquantes.
En clair
Imaginez une vitre placée entre votre œil et un objet. Si vous gardez la tête immobile et reportez sur la vitre les points visibles, leurs marques composent une image en perspective. Un perspectographe organise ce geste de façon mécanique ou optique.
La position de chaque marque dépend de deux distances : celle qui sépare l’œil du tableau, puis celle qui sépare l’œil du point observé. Un objet plus éloigné apparaît donc réduit selon une proportion déterminée, et non au hasard.
Définition
Le perspectographe est un instrument de construction de la perspective conique. Un œil d’observation fixe définit le centre de projection, tandis qu’un plan du tableau reçoit l’image. Pour chaque point de l’objet, la droite qui joint ce point à l’œil coupe le tableau en un point image. La construction est déterminée lorsque la position de l’œil, celle du tableau et celle du point sont connues dans le même repère.
Dans une coupe, on note d la distance de l’œil au tableau, z la profondeur d’un point et x son décalage transversal. Lorsque z n’est pas nul et que le point se trouve du même côté du tableau que la scène observée, le décalage x′ de son image vérifie . Le schéma de projection rend visibles le rayon issu de l’œil et son intersection avec le tableau.
La vitre quadrillée attribuée à Dürer matérialise directement le plan de projection. Le perspectographe de Lambert emploie plutôt un mécanisme analogue au pantographe et des rabattements pour obtenir l’image depuis des données relevées sur un plan. Ces réalisations diffèrent, mais elles conservent la même relation entre l’observateur, le tableau et les points représentés.
Un exemple, pas à pas
On veut placer l’image d’un point dans une coupe passant par l’œil. Toutes les distances sont mesurées dans le même repère.
Données :
• distance de l’œil au tableau : d = 40 cm ;
• profondeur du point : z = 100 cm ;
• décalage transversal du point : x = 20 cm.
Données :
• distance de l’œil au tableau : d = 40 cm ;
• profondeur du point : z = 100 cm ;
• décalage transversal du point : x = 20 cm.
1. Le rayon visuel est la droite qui relie l’œil au point.
2. Le rapport de réduction entre le tableau et la profondeur du point vaut 40 ÷ 100 = 0,4.
3. Le décalage projeté vaut 0,4 × 20 cm = 8 cm.
4. On place donc le point image à 8 cm de l’axe sur le tableau.
2. Le rapport de réduction entre le tableau et la profondeur du point vaut 40 ÷ 100 = 0,4.
3. Le décalage projeté vaut 0,4 × 20 cm = 8 cm.
4. On place donc le point image à 8 cm de l’axe sur le tableau.
Le contrôle se refait par proportion : 8 ÷ 20 = 0,4, comme 40 ÷ 100 = 0,4. Le point image appartient bien au rayon visuel et au plan du tableau ; ces deux conditions fixent sa position dans cette coupe.
En pratique
Avec une vitre quadrillée, l’observateur garde un point de vue fixe et reporte les intersections visibles sur le quadrillage. Cette forme convient lorsque la scène peut être observée directement depuis une position stable.
Avec le mécanisme de Lambert, l’image perspective est construite à partir de données graphiques relevées sur un plan, au moyen de rabattements. Cette solution est adaptée lorsque le relevé plan, plutôt que la scène elle-même, constitue le support de départ.
En topographie et dans l’art militaire, ces instruments ont servi aux mesures et aux relèvements. Les perspectographes contemporains exploitent aussi des photographies aériennes à des fins métrologiques : la photographie devient alors une source de mesures, pas seulement une vue illustrative.
À ne pas confondre
Perspectographe et pantographe. Le mécanisme de Lambert est dit analogue au pantographe, mais l’analogie mécanique ne rend pas les deux noms interchangeables. Le critère décisif est le résultat recherché : ici, l’instrument construit une image en perspective conique à partir d’un point de vue et d’un tableau.
Perspective conique et perspective isométrique. Un perspectographe relève de la perspective conique : les points sont projetés depuis l’œil vers le tableau. Si une représentation n’emploie pas ce centre de projection, le seul aspect tridimensionnel du dessin ne suffit pas à la qualifier d’image produite par un perspectographe.
Limites et pièges
Point de vue déplacé. La construction dépend de la position de l’œil. Si l’observateur bouge après avoir commencé le tracé, les nouveaux rayons visuels ne rencontrent plus le tableau aux mêmes endroits. Il faut conserver le point de vue initial ou recommencer la construction avec le nouveau repère.
Distances incomplètes. Connaître seulement la direction apparente d’un point ne suffit pas à retrouver toutes ses distances. Dans l’exemple, le rapport 40 ÷ 100 détermine la réduction ; sans la profondeur de 100 cm ou sans la distance de 40 cm au tableau, la mesure projetée de 8 cm n’est plus déterminée.
Point au niveau de l’œil. Dans la relation , le cas z = 0 interdit la division. Ce point ne fournit pas une image finie sur un tableau placé à la distance d. Il faut revenir à l’intersection géométrique du rayon et du tableau et vérifier que cette intersection existe dans le cadre choisi.
Pour aller plus loin
Le glossaire projection replace le geste de projeter dans un vocabulaire géométrique plus général.
La fiche pantographe éclaire le mécanisme auquel le perspectographe de Lambert est comparé dans la définition historique.
La note de lecture Redécouvrir le génie de Dürer prolonge le nom associé à la vitre quadrillée, sans le réduire à cet instrument.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres