ArithmétiqueNotion · Glossaire
Poids de Bachet
Les poids de Bachet sont les poids optimaux permettant de peser avec une balance à deux plateaux toutes les mesures entières de 1 à un nombre donné en utilisant le moins de poids possible. La solution, connue depuis Claude Gaspard Bachet de Méziriac, est d'utiliser les puissances de 3 : avec les poids 1, 3, 9, 27, ..., 3 puissance (n-1), on peut peser tous les entiers de 1 à (3 puissance n - 1)/2. Ce problème illustre la représentation des entiers en base 3 signée.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier pourquoi les puissances de 3 sont utilisées.
- Refaire la pesée de 20 avec les poids 1, 3, 9 et 27.
- Relier les trois positions d’un poids aux chiffres −1, 0 et 1.
- Reconnaître les limites de plage, d’unité et de précision.
En clair
Posez un objet de masse 20 sur un plateau d’une balance. Avec quatre poids de 1, 3, 9 et 27, il semble d’abord impossible de faire 20 par une simple addition. La balance à deux plateaux change le jeu : les poids peuvent accompagner l’objet ou lui faire face.
Ici, l’objet reçoit les poids 9 et 1, tandis que les poids 27 et 3 occupent l’autre plateau. Chaque côté totalise 30. Ce droit de placer un poids de l’un ou l’autre côté explique l’efficacité des puissances de 3.
Définition
Les poids de Bachet forment un jeu de masses destiné à une balance à deux plateaux. Pour un nombre de poids noté n, le jeu optimal est constitué des puissances successives de 3 : 1, 3, 9, 27, jusqu’à 3n − 1. Chaque poids peut être placé avec l’objet, sur le plateau opposé, ou ne pas être utilisé.
Ces trois choix correspondent aux chiffres −1, 0 et 1 d’une écriture en base 3 signée. Une masse entière est représentée par la différence entre la somme des poids opposés à l’objet et celle des poids placés avec lui. Avec n poids, toutes les masses entières de 1 à la borne suivante sont accessibles :
Cette borne explique l’optimalité. Chaque poids offre trois positions, et les puissances de 3 organisent ces choix sans laisser de masse entière manquante dans l’intervalle. Le dispositif suppose que les masses à mesurer et les poids sont exprimés dans la même unité.
Un exemple, pas à pas
On veut peser un objet de masse 20 avec une balance à deux plateaux. Les données sont la masse 20 et les quatre poids disponibles : 1, 3, 9 et 27, dans la même unité.
1. On cherche une différence de sommes égale à 20.
2. On place 27 et 3 sur le plateau opposé à l’objet : leur somme vaut 30.
3. On place 9 et 1 avec l’objet : leur somme vaut 10.
4. La différence entre les poids des deux côtés vaut 30 − 10 = 20.
2. On place 27 et 3 sur le plateau opposé à l’objet : leur somme vaut 30.
3. On place 9 et 1 avec l’objet : leur somme vaut 10.
4. La différence entre les poids des deux côtés vaut 30 − 10 = 20.
La balance est donc en équilibre lorsque l’objet de masse 20 partage son plateau avec 9 et 1, face à 27 et 3. Le contrôle est direct : 20 + 9 + 1 = 30 et 27 + 3 = 30. La figure matérialise cette égalité des deux charges.
En pratique
Pour préparer un jeu couvrant une plage de masses entières, on choisit les puissances de 3 jusqu’à ce que leur somme atteigne la masse maximale souhaitée. Ainsi, 1, 3, 9 et 27 couvrent toutes les masses de 1 à 40 dans l’unité choisie.
Pendant une pesée, on commence par le plus grand poids utile. S’il dépasse la masse restante, il peut tout de même être placé face à l’objet, puis compensé par des poids plus petits sur le plateau de l’objet. Pour 20, le poids 27 est compensé par 9 et 1, tandis que 3 rejoint 27.
Une balance qui n’autorise les poids que sur le plateau opposé exige une autre stratégie. Le critère est matériel : dès que les poids peuvent être disposés sur les deux plateaux, le jeu de Bachet devient applicable.
À ne pas confondre
Base 3 ordinaire. Elle emploie les chiffres 0, 1 et 2 pour additionner des puissances de 3. La base 3 signée emploie −1, 0 et 1 : le signe indique de quel côté de la balance intervient le poids. Pour 20, certains poids doivent accompagner l’objet, ce qui révèle l’écriture signée.
Pesée avec les poids sur un seul plateau. Dans ce cadre, un poids ne peut qu’être ajouté face à l’objet ou laissé de côté. Les puissances de 3 ne couvrent alors pas tous les entiers : avec 1 et 3, la masse 2 exige précisément de placer 1 avec l’objet.
Limites et pièges
Masses non entières. Un jeu 1, 3, 9, 27 couvre les multiples entiers de son unité, pas toutes les fractions de cette unité. Si l’on veut peser des dixièmes, il faut choisir une unité dix fois plus petite et dimensionner le jeu dans cette unité.
Borne du jeu. Quatre poids totalisent 40 : ils couvrent donc 1 à 40, mais pas 41. Le symptôme est l’absence de combinaison suffisante, même lorsque tous les poids font face à l’objet. Il faut alors ajouter le poids suivant, 81.
Placement interdit. La propriété disparaît si la balance ou le protocole interdit de mettre un poids avec l’objet. La masse 2 fournit le test minimal : elle s’équilibre avec 3 face à l’objet et 1 à ses côtés, mais pas avec 1 et 3 utilisés uniquement en face.
Poids inexacts. La garantie mathématique porte sur des valeurs exactes dans une unité commune. Avec des poids matériels, le verdict d’équilibre dépend de leur précision et de celle de la balance ; une tolérance expérimentale remplace alors l’égalité idéale.
Pour aller plus loin
L’écriture en base 3 signée transforme chaque placement en un chiffre : −1 pour le plateau de l’objet, 0 pour un poids écarté et 1 pour le plateau opposé. Cette correspondance relie une manipulation concrète à une représentation des entiers.
Le glossaire arithmétique replace les puissances, les entiers et leurs représentations dans leur domaine mathématique commun.
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