polyèdre inscriptible

Imaginez plusieurs points posés sur la surface d'une balle, puis reliés pour former un polyèdre. Si chaque sommet touche cette même balle, le polyèdre est inscriptible. La sphère n'a pas besoin d'être visible dans le dessin : elle sert de repère commun pour vérifier la position des sommets. Cette propriété concerne la place des sommets, et non la forme extérieure du polyèdre.

Un polyèdre est un solide ou une structure formée de faces planes, d'arêtes et de sommets. Il est inscriptible lorsqu'il existe une sphère dont tous les sommets appartiennent à la surface. Si O désigne le centre de cette sphère, R son rayon et P_i un sommet, le critère s'écrit :

La même valeur R doit convenir à chaque sommet, mesuré depuis le même centre O. La définition ne demande pas que le polyèdre soit convexe : des faces peuvent se replier vers l'intérieur tout en laissant les sommets sur une sphère commune. On parle aussi de sommets cosphériques, par analogie avec des points cocycliques dans un plan.

Pour examiner l'inscription, il faut distinguer les sommets, les arêtes, les faces et la sphère de référence. Les sommets sont les points à tester. Les arêtes relient ces points et les faces planes organisent la structure du polyèdre. Le centre O et le rayon R décrivent la sphère qui sert de repère.

Les arêtes dépendent du choix des sommets, tandis que les faces dépendent de la manière dont ces arêtes ferment la structure. L'inscription dépend, elle, de la distance de chaque sommet au même centre et non de la couleur, de l'orientation ou de l'échelle du dessin. Ces données suffisent à vérifier la propriété : il faut comparer toutes les distances des sommets à O et constater qu'elles valent le même rayon R.

Considérons quatre sommets dont les coordonnées sont (1, 0, 0), (−1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1). On cherche une sphère de centre O = (0, 0, 0).

Pour le premier sommet, la distance à O vaut 1.
Pour le deuxième sommet, la distance à O vaut aussi 1.
Pour le troisième sommet, la distance à O vaut encore 1.
Pour le quatrième sommet, la distance à O vaut également 1.

Les quatre sommets appartiennent donc à la sphère de centre O et de rayon 1. Le polyèdre construit en les reliant selon une structure donnée est inscriptible si ces quatre points sont bien ses sommets. Le contrôle se refait en calculant chaque distance depuis O : quatre résultats égaux à 1 donnent le même verdict.

Dans un dessin de géométrie de l'espace, on peut commencer par repérer les sommets, puis chercher une sphère commune plutôt que de juger la convexité à l'œil. Le geste utile consiste à identifier un centre et à comparer les distances.

Avec des coordonnées, le calcul des distances à un même point fournit un test vérifiable. Si toutes les distances ont la même valeur, cette valeur est le rayon de la sphère recherchée. Si elles diffèrent, ce centre et ce rayon ne conviennent pas ; il faut rechercher une autre sphère ou conclure que l'inscription n'est pas établie.

Un polyèdre inscriptible n'est pas nécessairement convexe. Le critère testable porte sur les sommets : ils doivent être sur une même sphère. Un dessin qui paraît régulier ou symétrique ne suffit donc pas à établir l'inscription, tandis qu'un polyèdre non convexe peut satisfaire ce critère.

Le piège principal consiste à remplacer « tous les sommets » par « toutes les faces » ou par « le solide semble tenir dans une sphère ». Le symptôme observable est un raisonnement fondé sur le contour du dessin. Il faut revenir aux sommets et vérifier leur appartenance à une seule sphère.

Un autre cas limite apparaît lorsqu'on ne dispose que d'une partie des sommets ou de mesures approximatives. Des distances presque égales ne prouvent pas une égalité exacte sans préciser la précision des données. Il faut alors parler d'une inscription compatible avec cette précision, ou poursuivre la vérification avec des coordonnées exactes.

Pour prolonger l'idée de points placés sur une sphère, l'article Des points sur la sphère fournit un contexte géométrique complémentaire. Il aide à mieux visualiser la surface commune sur laquelle les sommets doivent se trouver.