Principe de réflexion

Imaginez un dessin tracé au-dessus d'une ligne droite. Si ses valeurs sur la ligne sont réelles, la conjugaison complexe fournit son reflet cohérent sous cette ligne. Le bord ne devient pas une cassure : la fonction holomorphe se poursuit de l'autre côté.

Pour une trajectoire brownienne, le geste analogue consiste à retourner la portion qui suit le premier contact avec un niveau donné. Cette symétrie met en correspondance des trajectoires et transforme une question sur leur maximum en une question sur leur position finale.

Dans sa version de Schwarz, le principe concerne une fonction f holomorphe dans le demi-plan supérieur. La fonction doit admettre un prolongement continu sur un segment de l'axe réel et y prendre des valeurs réelles. Pour un point z situé sous ce segment, la fonction prolongée, notée F, est définie par $F(z)=\overline{f(\stackrel{‾}{z})}F(z)=\backslash overline\{f(\backslash overline\; z)\}$. Au-dessus de l'axe et sur le segment, F coïncide avec f. Les valeurs réelles au bord assurent le raccord, et le principe affirme que ce raccord est holomorphe.

La réflexion porte donc simultanément sur l'argument et sur la valeur. Elle prolonge la fonction à travers le bord rectiligne concerné ; elle ne garantit pas un prolongement à travers n'importe quel bord ni à travers une singularité.

Dans la version probabiliste, on considère un mouvement brownien standard, noté B, partant de 0. À l'instant positif t, son maximum jusqu'à cet instant est noté M_t. Pour un niveau positif a, partageons les trajectoires qui ont atteint a avant t en deux classes selon leur position finale. Celles qui finissent en a ou au-dessus ont la probabilité de l'événement B_t ≥ a, car une trajectoire continue arrivée là a nécessairement franchi a. Pour chacune de celles qui finissent sous a, on conserve le trajet jusqu'au premier passage en a, puis on retourne toute la portion restante autour de ce niveau : sa position finale passe alors au-dessus de a. Cette opération est réversible et met cette seconde classe en correspondance avec les trajectoires telles que B_t > a. Comme B_t a une loi continue, l'égalité finale à a a une probabilité nulle : les deux classes ont donc la même probabilité. Leur somme donne le facteur 2 et conduit à l'identité $\mathbb{P}(M_t\ge a)=2\mathbb{P}(B_t\ge a)=\mathbb{P}(\mathrm{\mid }{B}_t\mathrm{\mid }\ge a)\backslash mathbb\; P(M\_t\backslash ge\; a)=2\backslash mathbb\; P(B\_t\backslash ge\; a)=\backslash mathbb\; P(|B\_t|\backslash ge\; a)$, la dernière égalité venant de la symétrie de B_t. Ainsi, M_t a la même loi que la valeur absolue de B_t. Cette version repose sur la continuité et la symétrie du mouvement brownien, non sur l'holomorphie.

On part de la fonction f qui associe à tout nombre complexe z son carré, dans le demi-plan supérieur. Données. La fonction est $f(z)=z^{2}f(z)=z^2$, le bord est l'axe réel et le point à traiter sous l'axe est $z=1-2iz=1-2i$.

1. Sur l'axe réel, le carré d'un réel est réel. La condition au bord est donc satisfaite.

2. On réfléchit d'abord le point sous l'axe : son conjugué est $\bar{z}=1+2i\backslash overline\; z=1+2i$, situé dans le demi-plan supérieur.

3. On calcule la valeur connue dans le demi-plan supérieur : $f(1+2i)=(1+2i{)}^2=-3+4if(1+2i)=(1+2i)^2=-3+4i$.

4. On conjugue cette valeur : $F(1-2i)=\overline{-3+4i}=-3-4iF(1-2i)=\backslash overline\{-3+4i\}=-3-4i$. Le contrôle direct donne aussi $(1-2i{)}^2=-3-4i(1-2i)^2=-3-4i$. La symétrie des deux points et de leurs images rend ce double contrôle visible.

En analyse complexe, on emploie la réflexion de Schwarz lorsqu'une fonction est connue d'un côté d'un bord rectiligne et prend des valeurs réelles sur ce bord. On construit alors l'autre moitié par conjugaison. Si les valeurs au bord ne sont pas réelles, cette formule directe ne convient pas et il faut chercher un autre prolongement analytique.

Pour un mouvement brownien standard, la méthode est utile quand l'événement observé porte sur le franchissement d'un niveau ou sur le maximum atteint avant un instant fixé. On réfléchit la trajectoire après son premier contact avec ce niveau. Si seule la position à l'instant final compte, la loi de cette position suffit et la réflexion est inutile.

Dans les deux cadres, le bon réflexe consiste à identifier l'objet symétrique et le bord de réflexion avant de calculer. Le mot « réflexion » décrit une correspondance exacte, mais les hypothèses qui la rendent valide diffèrent selon le cadre.

Réflexion géométrique. Elle déplace directement des points d'une figure. La réflexion de Schwarz agit aussi sur les valeurs d'une fonction par conjugaison. Pour z sous l'axe, réfléchir seulement z sans conjuguer f ne donne pas la formule du prolongement.

Prolongement analytique général. Celui-ci cherche toute extension holomorphe compatible sur un domaine plus grand. Le principe de Schwarz est un procédé particulier : il s'applique quand un bord de symétrie et une condition réelle permettent d'écrire explicitement l'extension.

Symétrie d'une trajectoire entière. Dans la preuve brownienne, seule la portion située après le premier passage au niveau a est retournée autour de ce niveau. Réfléchir toute la trajectoire autour de 0 décrit la symétrie de sa loi, mais pas la correspondance utilisée pour le maximum.

Valeurs non réelles sur le bord. Si f n'est pas réelle sur le segment de l'axe, les deux expressions peuvent ne pas se raccorder. Il faut d'abord ramener la condition au bord à une condition de symétrie adaptée, ou employer un autre théorème de prolongement.

Absence de continuité au bord. Des valeurs limites manquantes ou incompatibles empêchent de définir le raccord par la seule formule de réflexion. Il faut établir un comportement au bord suffisant avant de conclure à l'holomorphie de l'extension.

Bord différent de l'axe réel. La formule donnée s'applique directement à un bord rectiligne normalisé en axe réel. Pour une autre droite, un changement de coordonnées est nécessaire ; pour un bord courbe, la même écriture ne s'applique pas automatiquement.

Processus brownien modifié. L'égalité $\mathbb{P}(M_t\ge a)=2\mathbb{P}(B_t\ge a)\backslash mathbb\; P(M\_t\backslash ge\; a)=2\backslash mathbb\; P(B\_t\backslash ge\; a)$ suppose un mouvement brownien standard partant de 0, un instant t positif et un seuil a strictement positif. Une dérive ou une autre dynamique détruit en général cette symétrie ; il faut alors calculer la loi de franchissement propre au processus.

La notion de fonction holomorphe précise la régularité complexe conservée lors du prolongement de Schwarz.

L'analyse complexe replace cette réflexion parmi les méthodes qui exploitent les propriétés très rigides des fonctions d'une variable complexe.

Le mouvement brownien donne le cadre probabiliste où la réflexion des trajectoires relie franchissement d'un seuil, maximum et position finale.