Deux cercles (théorème des)

Imaginez deux cercles de même centre, l'un de rayon 1 et l'autre de rayon 4. Entre eux s'étend un anneau. Si l'on contrôle la taille d'une fonction holomorphe sur les deux bords, le théorème contrôle aussi sa taille sur chaque cercle intermédiaire.

La progression ne dépend pas de la distance ordinaire au centre, mais du logarithme du rayon. Au rayon 2, situé à mi-chemin entre 1 et 4 sur cette échelle, la borne est la moyenne géométrique des deux bornes de bord.

Soient deux rayons positifs r₁ et r₂, avec r₁ < r₂. Une fonction f est supposée holomorphe dans l'anneau r₁ < |z| < r₂ et continue sur ses deux cercles de bord. On suppose que son module ne dépasse pas M₁ sur le cercle de rayon r₁, ni M₂ sur celui de rayon r₂.

Pour un rayon intermédiaire ρ, on définit sa position logarithmique θ par $\theta =\frac{\log (\rho \mathrm{/}{r}_1)}{\log (r_2\mathrm{/}{r}_1)}\backslash theta=\backslash frac\{\backslash log(\backslash rho/r\_1)\}\{\backslash log(r\_2/r\_1)\}$. Elle est comprise entre 0 et 1. Le module de f sur le cercle de rayon ρ est alors borné par $M_1^{1-\theta }{M}_2^{\theta }M\_1^\{1-\backslash theta\}M\_2^\{\backslash theta\}$. Lorsque f n'est pas identiquement nulle, cette interpolation multiplicative est la forme à deux bords de la convexité de log M(ρ) en fonction de log ρ donnée par le théorème des trois cercles de Hadamard.

Les bornes M₁ et M₂ peuvent être prises comme les maxima du module sur les cercles de bord. Si l'une vaut 0, on la remplace d'abord par un nombre positif ε dans l'inégalité, puis on fait tendre ε vers 0 ; la borne intérieure obtenue est nulle, donc f est identiquement nulle dans l'anneau.

Si f est holomorphe dans l'anneau r₁ < |z| < r₂, continue jusqu'aux deux bords, et si |f| ≤ M₁ sur |z| = r₁ ainsi que |f| ≤ M₂ sur |z| = r₂, alors, pour r₁ ≤ ρ ≤ r₂ :

Aux deux bords, θ vaut respectivement 0 et 1 : l'inégalité redonne donc les bornes initiales.

Le domaine doit être un anneau délimité par deux cercles concentriques de rayons strictement positifs et distincts. La fonction doit être holomorphe entre les cercles, se prolonger continûment aux bords, et deux bornes du module doivent y être connues. Ces conditions donnent une borne sur chaque cercle concentrique intermédiaire.

Si les cercles ne sont pas concentriques, le rayon ρ ne fournit plus une coordonnée commune et cette formule logarithmique ne s'applique pas telle quelle. Si f possède un pôle dans l'anneau, elle n'est pas holomorphe sur le domaine : il faut d'abord isoler la singularité ou employer un résultat adapté aux fonctions méromorphes.

Considérons l'anneau 1 ≤ |z| ≤ 4 et la fonction holomorphe f définie par f(z) = z². Sur le bord intérieur, le maximum du module vaut M₁ = 1. Sur le bord extérieur, il vaut M₂ = 16. Cherchons la borne fournie au rayon ρ = 2.

1. La position logarithmique est $\theta =\frac{\log (2\mathrm{/}1)}{\log (4\mathrm{/}1)}=\frac{1}{2}\backslash theta=\backslash frac\{\backslash log(2/1)\}\{\backslash log(4/1)\}=\backslash frac12$.
2. La borne interpolée vaut $1^{1\mathrm{/}2}\times {16}^{1\mathrm{/}2}=41^\{1/2\}\backslash times16^\{1/2\}=4$.
3. Le théorème donne donc |f(z)| ≤ 4 lorsque |z| = 2.

Le contrôle est direct : sur ce cercle, |f(z)| = |z|² = 2² = 4. La borne est atteinte partout sur le cercle ; l'égalité montre que l'exposant logarithmique du théorème est exact dans cet exemple.

Pour estimer une fonction holomorphe dans un anneau, on commence par majorer son module sur les deux cercles de bord. La formule fournit ensuite une borne à n'importe quel rayon intermédiaire sans rechercher séparément tous les points du cercle.

Lorsque les deux bornes diffèrent beaucoup, la position logarithmique indique laquelle pèse le plus. Près du bord intérieur, l'exposant de M₁ domine ; près du bord extérieur, celui de M₂ domine.

Si l'on connaît déjà le maximum exact M(ρ) sur plusieurs rayons, le théorème des trois cercles est l'outil naturel : il exprime directement la convexité de log M en fonction de log ρ.

Avec une configuration géométrique de deux cercles. Ici, les cercles sont les niveaux |z| = r d'un même anneau et servent à borner une fonction. Une question portant sur tangence, sécance, axe radical ou cocyclicité relève de la géométrie du cercle, pas de ce théorème d'analyse complexe.

Avec le principe du maximum. Pour une fonction holomorphe dans un domaine borné et continue sur son adhérence, le principe du maximum place le maximum sur le bord, mais ne donne à lui seul que la plus grande des deux bornes. Le théorème des deux cercles fournit la borne plus fine qui dépend du rayon intermédiaire.

Avec le théorème des trois cercles de Hadamard. Celui-ci étudie M(r) sur trois rayons et affirme la convexité de log M(r) en log r. La formule à deux bords en est l'application interpolée à un rayon situé entre eux.

Rayons égaux. Si r₁ = r₂, il n'y a plus d'anneau et le dénominateur log(r₂/r₁) vaut 0. Il faut disposer de deux rayons strictement distincts.

Borne nulle. La formule logarithmique log M n'est pas lisible lorsque M₁ ou M₂ vaut 0. On remplace cette borne par ε > 0, on applique l'inégalité, puis on laisse ε tendre vers 0 : le module est nul sur chaque cercle intermédiaire, donc f ≡ 0.

Interpolation linéaire ordinaire. Remplacer θ par (ρ − r₁)/(r₂ − r₁) donne en général une autre borne. La bonne position est logarithmique : pour les rayons 1, 2 et 4, elle vaut exactement 1/2.

Singularité cachée. Deux valeurs de bord ne compensent pas un pôle dans l'anneau. Le symptôme est l'explosion du module près de la singularité ; il faut retirer ou traiter le pôle avant d'utiliser un principe de maximum adapté.

Le prolongement naturel consiste à considérer le maximum M(r) du module de la fonction sur chaque cercle de rayon r. Lorsque la fonction n'est pas identiquement nulle, le théorème des trois cercles de Hadamard affirme alors que log M(r) est une fonction convexe de log r. La borne entre deux cercles devient ainsi une conséquence d'une propriété valable simultanément pour tous les rayons intermédiaires.