problème de la chèvre

Imaginez un pré parfaitement rond et un piquet planté sur son bord. La chèvre peut atteindre tous les points situés à moins d’une longueur de corde du piquet, mais elle ne peut brouter que l’herbe située dans le pré.

La zone broutable ressemble donc à une lentille : c’est la partie commune au disque parcouru par la corde et au disque du pré. Le problème consiste à régler la corde pour que cette lentille couvre exactement la moitié du pré.

Le problème de la chèvre est un problème de géométrie et d’analyse associé à Henri Poincaré. Un pré est représenté par un disque de rayon R. Le piquet est placé sur le cercle qui borde ce disque, et la corde a pour longueur L. La surface réellement broutable est l’intersection du disque du pré et du disque de rayon L centré sur le piquet. La partie atteinte par la corde à l’extérieur du pré ne contient pas d’herbe à compter.

On note A l’aire de cette intersection et x le rapport sans unité L/R. Pour une corde comprise entre zéro et deux rayons, l’aire relative s’écrit :

La condition cherchée est A = πR²/2. Elle détermine une unique valeur de x entre 0 et 2, car la surface accessible croît continûment et strictement avec la longueur de corde dans cet intervalle. L’équation est transcendante : les opérations algébriques élémentaires ne permettent pas d’isoler x. Une méthode numérique donne x ≈ 1,158728473, donc L ≈ 1,158728473 R.

Prenons un pré de rayon R = 10 m. Son aire totale vaut 100π m², et la cible est donc 50π m². Le piquet est sur le bord. La longueur L reste inconnue. Une représentation des deux disques permet de voir que seule leur lentille commune est broutable.

1. On pose x = L/R afin de travailler avec un rapport sans unité.
2. On remplace l’aire relative par la moitié de π dans l’équation d’intersection.
3. On cherche numériquement la valeur de x qui annule l’écart entre les deux membres.

4. Le calcul donne x ≈ 1,158728473, puis L = 10x ≈ 11,587 m. Arrondie au centimètre, la corde mesure 11,59 m. Pour contrôler le résultat, on réinjecte x dans la formule : l’aire relative obtenue vaut environ 1,570796327, comme π/2 à la précision affichée.

Dans un exercice de géométrie, on commence par dessiner le disque du pré et celui parcouru par la corde. Si la zone cherchée est leur partie commune, on calcule une intersection de disques ; une simple aire de disque ne convient pas.

Pour obtenir la longueur, on travaille avec le rapport L/R. Si l’équation ne permet pas d’isoler ce rapport, une résolution numérique remplace les manipulations algébriques et fournit l’approximation voulue.

Dans une modélisation concrète, le calcul n’est pertinent que si le piquet est bien sur le bord, le pré circulaire et la corde libre de tout obstacle. Si ces conditions changent, il faut reconstruire la zone accessible plutôt que réutiliser le même rapport.

Un cercle est la frontière ronde, tandis qu’un disque comprend aussi toute la surface intérieure. Le piquet appartient au cercle qui borde le pré, mais la moitié à calculer porte sur l’aire du disque.

Si L = 0, l’aire accessible est nulle. Si L ≥ 2R, le disque de portée couvre tout le pré et l’aire accessible vaut πR². Entre ces deux seuils, l’aire croît avec L ; la demi-aire correspond donc à une seule longueur.

Un piège fréquent consiste à ajouter la portion du disque de portée située hors du pré. Cette portion est atteignable par la corde, mais elle n’appartient pas à la surface à brouter : il faut prendre l’intersection, sans ajout extérieur.

La valeur 1,158728473 est un rapport approché, non une égalité exacte. Pour un rayon mesuré sur le terrain, la précision utile de L ne peut pas dépasser celle de R ni ignorer l’emplacement réel du piquet et les obstacles.

L’article Henri Poincaré, la géométrie et... la robotique replace le mathématicien dans un parcours qui relie géométrie et questions contemporaines.