problème des deux échelles
Dans un couloir aux murs verticaux parallèles et au sol horizontal, deux échelles rigides de 2 m et 3 m relient chacune le pied d’un mur au mur opposé et se croisent à 1 m du sol : il s’agit de déterminer la largeur du couloir. L’intérêt du problème est que cette largeur fixe simultanément l’inclinaison et la hauteur d’appui des deux échelles, ce qui transforme un énoncé géométrique simple en une équation non linéaire.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la largeur, les hauteurs aux murs et la hauteur de croisement.
- Calculer la largeur du couloir, environ 1,231 m, à partir des données 2 m, 3 m et 1 m.
- Contrôler le résultat dans la relation irrationnelle avant de l'accepter.
- Repérer le domaine possible, la hauteur limite et les racines étrangères créées par les élévations au carré.
En clair
Imaginez un couloir vu de côté. Une échelle de 2 m part du sol contre le mur droit et monte vers le mur gauche. Une autre, longue de 3 m, suit le trajet inverse. Elles se coupent exactement à 1 m du sol.
La largeur cherchée change simultanément l'inclinaison des deux échelles. Il faut donc relier trois informations : leurs longueurs, les hauteurs auxquelles elles touchent les murs et la hauteur de leur croisement. Le calcul donne un couloir large d'environ 1,231 m.
Définition
Le problème des deux échelles cherche la distance entre deux murs parallèles à partir de deux longueurs obliques et de la hauteur de leur intersection. Dans le cas étudié, le sol est horizontal, les murs sont verticaux, les échelles sont assimilées à des segments et leurs longueurs sont 2 m et 3 m. La hauteur de croisement est 1 m.
Notons w la largeur du couloir, a la hauteur atteinte par l'échelle de 2 m et b celle atteinte par l'échelle de 3 m. Le théorème de Pythagore donne et . Les triangles semblables formés par les deux échelles donnent, pour une hauteur de croisement h, la relation . Ici, h vaut 1 m.
La largeur doit vérifier 0 < w < 2 m, car l'échelle la plus courte doit encore atteindre le mur opposé. Sur cet intervalle, les hauteurs a et b diminuent quand w augmente ; la hauteur de croisement diminue aussi. L'équation admet donc ici une seule largeur physiquement possible.
Un exemple, pas à pas
Données : les échelles mesurent 2 m et 3 m ; leur croisement est à 1 m du sol ; les murs sont parallèles et distants de w.
1. Pour une largeur proposée w, calculer les hauteurs aux murs : et .
2. Imposer la hauteur de croisement : .
3. Résoudre numériquement cette équation sur l'intervalle 0 < w < 2. On obtient w ≈ 1,2311857 m.
4. Avec cette largeur, a ≈ 1,5761287 m et b ≈ 2,7357233 m.
5. Contrôler : 1/a + 1/b ≈ 1, donc la hauteur calculée vaut bien environ 1 m.
2. Imposer la hauteur de croisement : .
3. Résoudre numériquement cette équation sur l'intervalle 0 < w < 2. On obtient w ≈ 1,2311857 m.
4. Avec cette largeur, a ≈ 1,5761287 m et b ≈ 2,7357233 m.
5. Contrôler : 1/a + 1/b ≈ 1, donc la hauteur calculée vaut bien environ 1 m.
La largeur du couloir est donc d'environ 1,231 m, arrondie au millimètre. Un second contrôle redonne les longueurs des échelles : w2 + a2 ≈ 4 et w2 + b2 ≈ 9.
En pratique
Pour trouver la largeur à partir de mesures données, on évalue la hauteur de croisement produite par plusieurs largeurs comprises entre 0 et 2 m. Une recherche par dichotomie est préférable à un dessin à l'échelle dès que l'on veut un résultat précis.
Pour tester une largeur annoncée, on recalcule d'abord les deux hauteurs aux murs avec Pythagore, puis la hauteur de croisement. Ce contrôle par substitution est préférable à la seule vérification d'une équation polynomiale, car les élévations au carré peuvent introduire des solutions étrangères.
Pour une construction réelle, les longueurs et la hauteur sont des mesures avec une précision limitée. On compare alors l'écart obtenu à l'incertitude des instruments ; on n'exige pas une égalité décimale parfaite.
À ne pas confondre
Une échelle unique contre un mur. Avec une seule échelle, sa longueur et la distance au mur forment un seul triangle rectangle. Ici, les deux segments-échelles se croisent, et la hauteur de leur point d'intersection fournit la relation supplémentaire.
Le problème d'une échelle à faire tourner dans un couloir. Celui-ci cherche si un segment peut franchir un angle entre deux passages. Le problème des deux échelles se reconnaît à deux segments appuyés sur des murs opposés et à une hauteur de croisement donnée.
Limites et pièges
Largeur hors domaine. Si w atteint 2 m, l'échelle de 2 m est au sol et sa hauteur au mur devient nulle. Pour w > 2 m, elle ne peut plus relier les deux murs. Il faut donc résoudre seulement sur 0 < w < 2 m.
Hauteur impossible. Quand la largeur tend vers zéro, les hauteurs aux murs tendent vers 2 m et 3 m ; la hauteur de croisement tend alors vers 6/5 m, soit 1,2 m. Une hauteur demandée supérieure ou égale à 1,2 m ne correspond à aucun couloir de largeur strictement positive dans ce cas.
Racines étrangères. En posant y = w2, puis en éliminant les dénominateurs et en élevant deux fois au carré, on obtient une équation de degré 4 : . Toute racine doit être ramenée à 0 < y < 4, puis les conditions de signe et l'équation avec les racines carrées doivent être vérifiées.
Modèle géométrique idéalisé. Une épaisseur d'échelle, des murs non parallèles ou un sol incliné rendent les triangles du modèle inexacts. Il faut alors mesurer la géométrie réelle et employer un modèle adapté plutôt que la formule des segments dans un rectangle.
Pour aller plus loin
théorème de Pythagore — Pour retrouver les hauteurs atteintes sur les murs à partir de la largeur et de chaque longueur d'échelle.
L'apport génial de Galois — Pour situer la résolution des équations polynomiales au-delà des manipulations élémentaires employées dans ce problème.
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