problème d'Al-Khwarizmi

Imaginez un triangle isocèle dont les deux flancs mesurent 10 coudées et la base 12. Un carré doit tenir à l'intérieur, avec ses quatre sommets posés sur les côtés du triangle. Plus le carré monte, plus le triangle se resserre : sa taille résulte donc d'un équilibre entre largeur et hauteur.

Un autre problème attribué au même ensemble de textes demande une quantité dont le carré, augmenté de dix fois cette quantité, vaut 39. Ces deux énoncés illustrent deux démarches : exploiter des proportions en géométrie et transformer une relation verbale en équation.

L'expression « problèmes d'Al-Khwarizmi » désigne ici deux énoncés mathématiques transmis dans ses ouvrages. Le premier porte sur un carré inscrit dans un triangle isocèle de flancs 10 coudées et de base 12 coudées. Dans la configuration usuelle où un côté du carré repose sur la base du triangle, les deux autres sommets touchent les flancs. L'altitude issue du sommet partage la base en deux segments de 6 coudées. Le théorème de Pythagore donne alors une hauteur de 8 coudées.

À une hauteur donnée, la largeur disponible décroît linéairement avec la hauteur, car le petit triangle supérieur est semblable au triangle entier. Si la lettre s désigne le côté du carré, sa largeur doit être égale à la largeur du triangle à la hauteur s : $s=12(1-\frac{s}{8})s=12\backslash left(1-\backslash frac\{s\}\{8\}\backslash right)$. Cette relation conduit à $s=\frac{24}{5}s=\backslash frac\{24\}\{5\}$ coudées, soit 4,8 coudées.

Le second énoncé appelle « bien » le carré d'une quantité et « racines » cette quantité elle-même. Si la lettre x désigne cette quantité, sa traduction moderne est $x^2+10x=39x^2+10x=39$. Sur les nombres réels, l'équation a deux solutions, 3 et −13. Si la quantité cherchée doit être positive, seule la valeur 3 convient.

Cherchons le côté du carré dans la configuration usuelle, avec un côté posé sur la base de 12 coudées. Données : les deux flancs mesurent 10 coudées ; la demi-base mesure 6 coudées ; la lettre h désigne la hauteur du triangle et la lettre s le côté du carré. La figure associée montre les longueurs et la diminution de la largeur disponible.

1. Dans un demi-triangle rectangle, la hauteur vaut $h=\sqrt{{10}^2-6^2}=8h=\backslash sqrt\{10^2-6^2\}=8$ coudées.
2. À la hauteur s, la similitude donne une largeur de $12(1-\frac{s}{8})12\backslash left(1-\backslash frac\{s\}\{8\}\backslash right)$ coudées.
3. Les sommets supérieurs du carré touchent les flancs lorsque cette largeur vaut s. On résout donc $s=12(1-\frac{s}{8})s=12\backslash left(1-\backslash frac\{s\}\{8\}\backslash right)$.
4. Après développement, $\frac{5}{2}s=12\backslash frac\{5\}\{2\}s=12$, d'où $s=\frac{24}{5}=\mathrm{4,8}s=\backslash frac\{24\}\{5\}=4\{,\}8$ coudées.

Contrôle : à 4,8 coudées au-dessus de la base, la largeur du triangle est $12(1-\frac{\mathrm{4,8}}{8})=\mathrm{4,8}12\backslash left(1-\backslash frac\{4\{,\}8\}\{8\}\backslash right)=4\{,\}8$ coudées. Elle coïncide exactement avec le côté du carré.

Pour résoudre le problème géométrique, on commence par tracer l'altitude du triangle. Elle crée deux triangles rectangles, puis la similitude relie la hauteur atteinte à la largeur encore disponible. Un dessin à l'échelle aide à estimer le résultat ; le calcul par proportions est préférable lorsqu'une valeur exacte est demandée.

Pour le problème algébrique, on ajoute 25 aux deux membres afin de former un carré : $x^2+10x+25=64x^2+10x+25=64$, donc $(x+5{)}^2=64(x+5)^2=64$. On obtient x = 3 ou x = −13 sur les réels. La factorisation $(x-3)(x+13)=0(x-3)(x+13)=0$ offre un contrôle direct ; elle est préférable si les facteurs sont immédiatement reconnaissables.

Le problème géométrique et l'équation algébrique. Le premier cherche une longueur imposée par une figure de côtés 10, 10 et 12 ; le second cherche un nombre vérifiant x² + 10x = 39. La présence d'un carré dans les deux formulations ne leur donne pas le même objet : ici une figure, là le carré d'une quantité.

Carré inscrit et carré simplement placé dans le triangle. Un carré inscrit a ses quatre sommets sur les côtés du triangle. Un carré plus petit peut rester entièrement à l'intérieur sans toucher les flancs ; il satisfait la contenance, mais pas la condition d'inscription qui fixe la longueur cherchée.

Solution d'une équation et solution admissible au problème. Sur les réels, 3 et −13 annulent toutes deux x² + 10x − 39. Si x représente une quantité exigée positive, le test d'admissibilité écarte −13 sans nier qu'il s'agit d'une racine de l'équation moderne.

L'orientation du carré doit être précisée. Le calcul 24/5 suppose qu'un côté du carré repose sur la base de 12 coudées. Si l'énoncé est lu sans figure ni indication d'orientation, un carré appuyé sur un flanc de 10 coudées constitue une autre configuration et n'a pas la même taille. Il faut donc annoncer la configuration avant de calculer.

La hauteur n'est pas 10. Les flancs obliques mesurent 10 coudées, mais l'altitude vaut 8 coudées, car la demi-base vaut 6. Employer 10 comme hauteur fausse la proportion ; le triangle rectangle 6–8–10 fournit le contrôle.

Le signe ± ne doit pas disparaître. De (x + 5)² = 64, on déduit x + 5 = 8 ou x + 5 = −8. Ne garder que la première égalité donne bien 3, mais masque la seconde solution réelle −13. La contrainte de positivité intervient seulement après la résolution.

Une valeur décimale peut cacher l'exactitude. Le côté du carré vaut exactement 24/5 coudées ; 4,8 est ici une écriture décimale exacte, et non une mesure issue d'un dessin. Avec un tracé gradué, on ne doit toutefois attendre qu'un accord compatible avec la précision de l'instrument.

La fiche Al-Khwarizmi replace le savant derrière ces énoncés dans son apport mathématique.

La fiche Équation du second degré développe les méthodes générales qui permettent de traiter x² + 10x = 39.

La fiche algèbre élargit la traduction d'un énoncé verbal en relations entre quantités.

La fiche théorème de Pythagore justifie le calcul de la hauteur 8 dans le triangle de côtés 10, 10 et 12.