rosace

Imaginez un segment qui pivote autour de son milieu. Sur ce segment, un point avance puis recule avec un mouvement sinusoïdal. La trace laissée par ce point dessine des boucles disposées autour du centre : les pétales d’une rosace.

Dans le modèle fermé décrit ici, le va-et-vient accomplit un nombre entier d’oscillations pendant la rotation. Ce nombre, selon sa parité, détermine le nombre de pétales ; l’amplitude règle leur taille et la phase l’orientation du tracé. Une rosace à quatre feuilles porte le nom de quadrifolium.

Dans le modèle classique considéré ici, une rosace, ou multifolium, est une courbe algébrique fermée décrite en coordonnées polaires par r = a cos(nθ + φ), avec a non nul et n entier non nul. Elle est le lieu géométrique d’un point M, c’est-à-dire l’ensemble des positions successives occupées par ce point pendant le mouvement qui engendre la courbe.

Une première construction utilise un segment tournant autour de son milieu O. Le point M se déplace en même temps le long du segment selon un mouvement sinusoïdal. Pour une construction équivalente avec une droite et un cercle, le cercle, de rayon R strictement positif et de centre C, passe par O : ainsi OC = R. Si θ est l’angle de la droite, le centre C doit avoir pour angle (1 − n)θ − φ, où n est un entier non nul et φ une phase constante. L’autre point d’intersection M vérifie alors la loi polaire r = 2R cos(nθ + φ). Cette relation précise entre les rotations, et non leur seule uniformité, engendre la même famille fermée.

Dans ce modèle, le nombre de pétales est déterminé par la valeur absolue et la parité de l’entier n ; l’amplitude fixe l’échelle et la phase l’orientation du tracé. Parmi les formes particulières figurent le trifolium régulier et le quadrifolium à quatre feuilles, usuellement appelé aussi folium de Dürer. Guido Grandi a étudié cette courbe en 1723, puis E. W. Hyde en 1875.

Prenons la loi polaire déjà introduite, r = a cos(nθ + φ), avec n = 2. Comme n est pair, le modèle donne 2|n| pétales : on doit donc en obtenir 2 × 2 = 4. L’amplitude a et la phase φ peuvent changer la taille et l’orientation du tracé, pas ce comptage.

Étape 1. Repérez le paramètre n = 2 et sa parité : il est pair. Appliquez alors la règle 2|n|, soit quatre pétales attendus avant même de suivre la courbe.

Étape 2. Vérifiez cette prévision sur le tracé : partez du centre O et comptez une feuille chaque fois que la courbe s’éloigne de O, atteint une extrémité, puis revient en O.

Étape 3. Le parcours fait apparaître quatre feuilles autour du même centre, conformément au calcul. La courbe obtenue est donc un quadrifolium.

Le contrôle combine ainsi deux gestes refaisables : calculer 2|2| = 4 à partir du paramètre pair, puis retrouver quatre départs depuis O et quatre retours en O sur le tracé.

Pour reconnaître une rosace déjà tracée, repérez d’abord un même centre autour duquel se répartissent plusieurs pétales. Comptez ensuite les feuilles complètes plutôt que les seuls points les plus éloignés.

Pour expliquer sa construction, choisissez le modèle adapté aux données visibles. Un segment muni d’un point mobile convient si le va-et-vient sinusoïdal est donné ; la droite et le cercle conviennent si leurs intersections sont suivies pendant la rotation.

Pour prévoir le nombre de pétales dans le modèle fermé r = a cos(nθ + φ), partez de l’entier n : si n est impair, la courbe a |n| pétales ; s’il est pair, elle en a 2|n|. Ainsi, n = 2 donne les quatre feuilles du quadrifolium. Le rapport des vitesses n’est exploitable qu’une fois sa relation avec n précisément fixée ; un rapport arbitraire peut ne pas fermer la courbe. L’amplitude et la phase règlent la taille et l’orientation, pas ce comptage.

Rosace et cercle. Dans la seconde construction, le cercle est un élément qui tourne ; la rosace est le lieu décrit par le second point d’intersection M. Si l’on suit le cercle au lieu de M, on ne suit donc pas la courbe recherchée.

Rosace et segment mobile. Le segment sert de support au déplacement dans la première construction. La rosace est la trace de M pendant le mouvement complet, et non l’une des positions successives du segment.

Le nombre de pétales ne se déduit pas d’une seule vitesse prise isolément. Dans le modèle défini plus haut, il dépend de la relation entre les deux mouvements et de la fréquence entière de la loi sinusoïdale. Avec un rapport arbitraire, la trace peut ne pas se fermer et ne pas avoir un nombre fini de pétales.

Dans la construction par une droite et un cercle, l’uniformité des vitesses angulaires ne suffit pas. Le cercle doit passer par O, son centre doit rester à la distance de son rayon de O, et les angles de la droite et du centre doivent respecter la relation indiquée dans la définition pour retrouver la même loi polaire.

Le mot « pétale » décrit une partie du tracé, mais ne fixe pas à lui seul la forme entière. Le quadrifolium possède exactement quatre feuilles et porte aussi, dans la terminologie usuelle, le nom de folium de Dürer. Le trifolium régulier est un autre cas particulier, à trois feuilles.

Coordonnées polaires — Ce repérage aide à décrire une position par rapport à un centre, cadre naturel pour étudier les courbes à pétales.