théorème de Holditch

Imaginez une tige rigide dont les deux bouts glissent tout autour d'une piste fermée. Un point placé sur la tige se déplace lui aussi, mais il ne suit pas la même courbe que ses extrémités. Le théorème de Holditch affirme qu'une aire se conserve dans cette différence de trajectoires. Elle dépend seulement des deux longueurs qui séparent le point des extrémités, pas de la forme de la piste. Avec 2 cm d'un côté et 3 cm de l'autre, l'aire vaut 6π cm², soit environ 18,85 cm².

Le théorème de Holditch est un résultat de géométrie plane sur un segment de longueur constante dont les extrémités parcourent une courbe fermée. On note a la longueur entre la première extrémité et le point intérieur M, et b la longueur entre M et la seconde extrémité. La longueur totale du segment est donc a + b. Lorsque le mouvement satisfait les hypothèses précises du théorème, la différence entre l'aire délimitée par la courbe initiale et celle délimitée par la trajectoire de M vaut πab.

La forme de la courbe peut être très variée : le résultat ne dépend pas de son dessin, mais du mouvement fermé du segment et de la division a, b. Dans l'exemple conducteur, a = 2 cm et b = 3 cm, donc la longueur du segment est 5 cm et la différence d'aire est π × 2 × 3 = 6π cm². La source rattache l'origine du théorème à Hamnett Holditch, puis mentionne une précision de De la Vallée Poussin en 1923 et une étude générale d'Arne Broman en 1981.

Si un segment de longueur constante a + b se déplace avec ses deux extrémités sur une courbe fermée, et si M le partage en deux longueurs a et b, alors, sous les hypothèses de fermeture et de non-intersection précisées par la source, la différence d'aire vaut

Ici, a et b sont les deux distances entre M et les extrémités du segment, et π est la constante usuelle du cercle. Pour a = 2 cm et b = 3 cm, le calcul donne 6π cm², soit environ 18,85 cm².

Le résultat s'applique à un segment rigide de longueur constante, à deux extrémités qui restent sur une même courbe fermée, et à un point M intérieur qui conserve la division a + b. La courbe doit être considérée sans auto-intersection dans la formulation précisée par De la Vallée Poussin, et les extrémités doivent effectuer un tour complet.

Ces conditions permettent de comparer deux régions planes fermées et d'interpréter leur différence d'aire. Si une extrémité quitte la courbe, si la longueur du segment varie ou si le mouvement s'interrompt avant un tour complet, le théorème ne fournit pas automatiquement cette aire. Il faut alors décrire le mouvement réellement effectué et calculer séparément les régions obtenues.

On considère un segment rigide qui fait un tour complet avec ses extrémités sur une courbe fermée. Le point M reste à l'intérieur du segment et le partage ainsi :
• longueur totale : 5 cm ;
• distance entre la première extrémité et M : a = 2 cm ;
• distance entre M et la seconde extrémité : b = 3 cm.

La règle du théorème donne la différence d'aire :
$\pi ab\pi ab$
En remplaçant a et b par leurs valeurs :
$\pi \times 2\times 3=6\pi \pi \; \times \; 2\; \times \; 3\; =\; 6\pi$ cm².

Avec π ≈ 3,14159, on obtient 6π ≈ 18,85 cm². Le contrôle consiste à vérifier que 2 + 3 = 5 cm et que le produit 2 × 3 = 6 cm² ; les unités d'a et b produisent bien une unité d'aire.

Dans une maquette de train, on peut fixer une figurine à l'intérieur d'un wagon et observer son déplacement pendant que les roues suivent le circuit. Le geste consiste à suivre la trajectoire de la figurine et celle imposée par les roues, puis à comparer les régions qu'elles délimitent.

Pour une vérification numérique, on mesure les deux distances entre la figurine et les extrémités d'une tige rigide. Si elles valent 2 cm et 3 cm pendant tout le tour, la différence théorique d'aire est 6π cm². Une construction géométrique ou un relevé de points convient mieux qu'une simple estimation visuelle lorsque les contours sont irréguliers.

Le théorème de Holditch ne dit pas que la trajectoire de M est identique à la courbe suivie par les extrémités. Le critère qui tranche est le contour observé : les trajectoires peuvent différer tout en ayant une différence d'aire fixée par a et b. Une même courbe de départ ne suffit donc pas à conclure à une même trajectoire.

Il ne s'agit pas non plus d'une formule donnant l'aire de la courbe seule. Le résultat porte sur une différence entre deux régions, et non sur l'aire absolue de la région initiale ou de la région parcourue par M.

Une courbe qui se coupe elle-même ne délimite pas nécessairement une région unique. Le symptôme est une aire ambiguë selon le choix des boucles ou des signes. Il faut alors préciser la région et la convention d'aire avant d'utiliser le théorème ; la formulation historique rapportée ici exige une courbe sans intersection.

Un mouvement incomplet est un autre cas charnière. Le fait que les extrémités parcourent seulement une fraction du tour, même une moitié, ne suffit pas à garantir πab pour les régions tracées. Il faut que les extrémités effectuent un tour complet, ou abandonner cette conclusion et calculer la portion réellement balayée.

Enfin, a et b doivent rester des longueurs positives correspondant à un point intérieur au segment. Si M atteint une extrémité, l'une des deux longueurs devient nulle et la configuration sort du cas intérieur décrit par la source ; le résultat formel ne doit pas être extrapolé sans vérifier les hypothèses.

Pour prolonger l'étude, on peut chercher comment la forme de la trajectoire de M varie lorsque la courbe fermée change tout en conservant le segment et les longueurs a et b. Le point remarquable à retenir est l'invariance de la différence d'aire : le contour peut se déformer, mais la quantité πab reste attachée à la division du segment lorsque les hypothèses du théorème sont respectées.