Holditch Hamnett

Imaginez une corde tendue contre le bord d'une forme fermée et bombée. Sa longueur reste fixe, mais ses deux extrémités glissent sur le bord. Un point placé à 3 unités d'une extrémité et à 5 unités de l'autre se déplace avec la corde et dessine à son tour une boucle.

Le théorème de Holditch relie les deux aires sans demander de recalculer toute la nouvelle boucle : l'aire perdue ou gagnée en passant du contour initial à la courbe du point vaut π multiplié par 3 puis par 5, soit 15π unités d'aire. La forme précise du contour peut changer, mais les deux morceaux de la corde restent les mêmes.

Le théorème de Holditch concerne une courbe plane fermée, convexe et suffisamment régulière pour que l'aire intérieure et le déplacement du point soient définis sans ambiguïté. Une corde de longueur fixe glisse le long de cette courbe : ses deux extrémités restent sur le contour. Un point intérieur partage la corde en deux segments de longueurs p et q ; la longueur totale de la corde est donc p + q.

Lorsque le point décrit une courbe fermée, on entend par A₁ son aire algébrique (orientée), afin que la comparaison reste définie même si la courbe se recoupe. L'aire du contour initial et cette aire diffèrent alors de la quantité suivante :
Les lettres A₀ et A₁ désignent respectivement l'aire du contour initial et l'aire algébrique (orientée) de la courbe décrite par le point. Avec un point situé entre les extrémités, p et q sont positifs ; l'expression πpq est alors positive.

La relation est remarquable parce que la différence d'aires ne dépend pas de la forme détaillée de la courbe, mais seulement des deux longueurs p et q. Elle ne s'applique pas automatiquement à une courbe non convexe, ouverte ou présentant des singularités qui empêchent de retrouver les hypothèses du théorème.

Prenons un cercle de rayon 10 unités. Une corde de longueur 8 unités glisse sur le cercle ; le point choisi est à 3 unités de la première extrémité et à 5 unités de la seconde. Le contour initial est le cercle et la courbe du point est un cercle concentrique.

Données : rayon initial 10 ; longueur du premier segment p = 3 ; longueur du second segment q = 5 ; longueur de la corde 3 + 5 = 8.

1. Le théorème donne la différence d'aires : $A_0-A_1=\pi \times 3\times 5=15\pi A\_0-A\_1=\backslash pi\backslash times3\backslash times5=15\backslash pi$.
2. L'aire du cercle initial vaut $A_0=\pi \times {10}^2=100\pi A\_0=\backslash pi\backslash times10^2=100\backslash pi$.
3. L'aire de la courbe décrite par le point vaut donc $A_1=100\pi -15\pi =85\pi A\_1=100\backslash pi-15\backslash pi=85\backslash pi$ unités d'aire.
4. Son rayon est √85 unités, car son aire est π fois le carré du rayon.

Le contrôle géométrique confirme ce résultat : le milieu de la corde se trouve à √(10² − 4²) = √84 unités du centre, et le point est décalé de (5 − 3) / 2 = 1 unité vers la première moitié. Le carré de sa distance au centre vaut 84 + 1² = 85 ; l'aire obtenue est donc bien 85π.

Pour étudier une corde glissante sur un cercle ou une autre courbe convexe, on fixe d'abord sa longueur et la position du point intérieur. Le geste consiste ensuite à maintenir les extrémités sur le contour pendant le déplacement. Une animation ou un tracé successif rend la courbe du point observable.

Pour calculer une aire sans reconstruire le contour point par point, on mesure les deux segments p et q, puis on applique la différence πpq. Cette méthode est préférable lorsque la forme initiale est compliquée mais que la corde et le point sont précisément définis.

Dans un cercle, le calcul peut être contrôlé par une seconde méthode : déterminer la distance du milieu de la corde au centre, puis tenir compte du décalage du point par rapport à ce milieu. Si le contour n'est pas convexe ou si les extrémités ne restent pas sur le même contour fermé, il faut d'abord vérifier les hypothèses avant d'utiliser la formule.

Le théorème de Holditch et la longueur de la corde. La longueur totale de la corde est p + q ; la différence d'aires dépend de πpq. Une corde de 8 unités partagée en 3 et 5 donne donc 15π, tandis qu'une corde de 8 unités partagée en 4 et 4 donne 16π : la seule longueur totale ne suffit pas à trancher.

La courbe décrite et le contour initial. Le point mobile ne reste pas nécessairement sur la courbe qui guide les extrémités. Dans l'exemple du cercle de rayon 10, le contour initial a une aire 100π, alors que le point décrit un cercle d'aire 85π.

La convexité est une hypothèse réelle. Sur une courbe non convexe, une corde peut rencontrer le contour de plusieurs façons et le point peut produire des boucles ou des passages ambigus. Le symptôme est que le segment ne glisse plus sur un seul arc de bord ; il faut alors vérifier une formulation adaptée avant d'invoquer πpq.

Le point doit rester intérieur. Si p = 0 ou q = 0, le point coïncide avec une extrémité et la quantité πpq vaut 0. Ce cas charnière ne décrit plus un point strictement intérieur ; il faut le traiter comme une dégénérescence plutôt que comme l'exemple ordinaire du théorème.

Une corde fixe ne suffit pas à elle seule. Il faut aussi que ses extrémités restent sur une courbe fermée convexe et que le point retrouve une courbe fermée. Une droite, un arc ouvert ou une longueur de corde variable ne fournit pas automatiquement les deux aires comparées par le théorème.

Le sens de la différence dépend des aires nommées. Avec A₀ pour l'aire initiale et A₁ pour celle de la courbe du point, la relation s'écrit A₀ − A₁ = πpq dans le cas présenté. Inverser l'ordre inverse le signe ; il faut donc annoncer les deux conventions avant de comparer deux énoncés.

Hamnett Holditch (1800–1867) est un mathématicien anglais formé à l'université de Cambridge, où il effectua l'essentiel de sa carrière académique. Il est principalement reconnu pour le théorème géométrique qui porte son nom, démontré par ses soins en 1858. La fiche théorème de Holditch approfondit l'énoncé géométrique lui-même et permet de distinguer ce contexte historique du résultat mathématique.