Histoire et cultureThéorème · Glossaire
théorème de Merton
Le théorème de Merton affirme que, sous une accélération constante, le déplacement d’un mobile pendant un intervalle de temps est celui qu’il aurait à vitesse constante égale à la moyenne arithmétique de ses vitesses initiale et finale. Il permet donc de remplacer une vitesse qui varie uniformément par cette vitesse moyenne pour calculer le déplacement ; si le mobile change de sens, la distance totale exige de séparer les phases du mouvement.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier l'hypothèse d'accélération constante.
- Calculer la vitesse moyenne à partir des vitesses initiale et finale.
- Retrouver la distance d'un exemple de 8 secondes.
- Distinguer déplacement algébrique et distance lors d'un changement de sens.
En clair
Un mobile roule pendant 8 secondes. Sa vitesse augmente régulièrement de 2 à 6 mètres par seconde. Pour connaître la distance parcourue, on peut remplacer cette variation par une vitesse constante de 4 mètres par seconde, exactement à mi-chemin entre les deux vitesses.
Le théorème de Merton affirme que les deux mouvements couvrent alors la même distance. L'accélération uniforme rend cette moyenne suffisante : il n'est pas nécessaire de suivre séparément chaque instant du trajet.
Définition
Le théorème de Merton est une règle de cinématique pour un mouvement rectiligne dont l'accélération reste constante pendant tout l'intervalle étudié. La vitesse varie alors linéairement avec le temps. Le résultat vaut aussi lorsque le mobile ralentit uniformément, tant que l'on traite correctement le signe de la vitesse et le sens du mouvement.
On note t0 l'instant initial et t1 l'instant final, puis v0 et v1 les vitesses correspondantes. La durée est t1 − t0. La vitesse constante équivalente est la moyenne arithmétique des vitesses extrêmes : . Le déplacement algébrique est . Si le mobile ne change pas de sens, la distance parcourue est la valeur absolue de ce résultat.
Cette règle médiévale est aussi appelée règle de la vitesse moyenne ou règle de l'accélération uniforme. Les calculateurs d'Oxford du Merton College l'ont formulée au XIVe siècle, puis Nicolas Oresme en a donné une démonstration géométrique à la fin de ce siècle, bien avant le calcul différentiel et Galilée.
Le principe
Si l'accélération d'un mobile reste constante entre les instants t0 et t1, alors son déplacement est égal à celui d'un mouvement uniforme de même durée, à la vitesse moyenne arithmétique des vitesses initiale et finale.
En notant v0 et v1 ces deux vitesses, le déplacement vaut : . Le graphique vitesse-temps rend visible l'égalité entre l'aire sous la vitesse variable et celle du rectangle à vitesse moyenne.
Quand l'utiliser
La règle s'applique sur un intervalle de temps délimité, avec une accélération constante et des vitesses initiale et finale connues dans un même référentiel et une même unité. Elle fournit le déplacement sur une droite. Pour parler de distance parcourue sans autre précaution, le mobile ne doit pas changer de sens pendant l'intervalle.
Si l'accélération varie, la moyenne des seules vitesses extrêmes ne suffit pas : deux évolutions différentes peuvent partager les mêmes extrémités et produire des déplacements différents. Il faut alors connaître la vitesse au cours du temps et calculer l'aire correspondante, ou découper le trajet en phases dont chacune respecte les hypothèses.
Un exemple, pas à pas
Un mobile avance en ligne droite pendant 8 s. Sa vitesse passe uniformément de 2 m/s à 6 m/s, sans changement de sens. Les données sont donc la durée 8 s, la vitesse initiale 2 m/s et la vitesse finale 6 m/s.
1. La vitesse moyenne de Merton est .
2. On remplace le mouvement accéléré par un mouvement uniforme de même durée, à 4 m/s.
3. La distance parcourue est .
Le résultat est donc 32 m. Pour le contrôler, l'accélération vaut (6 − 2) / 8 = 0,5 m/s2 ; la formule d = 2 × 8 + (0,5 × 0,5 × 82) redonne 16 + 16 = 32 m.
En pratique
Pour un exercice de cinématique, on vérifie d'abord que l'accélération est constante. Si les deux vitesses extrêmes et la durée sont données, leur moyenne permet d'obtenir directement le déplacement.
Sur un graphique vitesse-temps, une droite signale l'accélération constante. L'aire sous cette droite peut alors être remplacée par celle d'un rectangle de même largeur, dont la hauteur est la moyenne des vitesses aux extrémités.
Si le graphique est courbe ou si l'accélération change par paliers, on ne garde pas une moyenne globale des deux extrêmes. On calcule l'aire sous la courbe ou on applique la règle séparément à chaque palier uniforme.
À ne pas confondre
La vitesse moyenne sur un trajet quelconque est le déplacement total divisé par la durée totale. Lorsque la vitesse varie linéairement avec le temps, elle est égale à (v0 + v1) / 2. Avec une accélération irrégulière, l'égalité des deux calculs n'est plus garantie.
La moyenne de deux vitesses sur deux portions de même longueur n'est généralement pas leur moyenne arithmétique, car les durées diffèrent. Le théorème de Merton porte sur les vitesses aux extrémités d'un même intervalle de temps soumis à une accélération constante.
Limites et pièges
Si v0 = v1, l'accélération constante est nulle : le théorème se réduit au mouvement uniforme, et la vitesse moyenne est cette vitesse commune.
Si les vitesses signées passent de positive à négative, leur moyenne donne encore le déplacement algébrique, mais pas la distance totale parcourue. Le changement de sens se repère lorsque la vitesse traverse zéro ; il faut alors découper l'intervalle à cet instant et additionner les distances positives.
Deux vitesses extrêmes ne prouvent pas que l'accélération a été uniforme entre elles. Si des mesures intermédiaires ne s'alignent pas sur une droite dans le graphique vitesse-temps, on doit utiliser l'évolution complète plutôt que la règle de Merton.
Pour aller plus loin
La fiche accélération précise la grandeur qui doit rester constante pour appliquer la règle de Merton.
La fiche cinématique replace ce théorème dans l'étude du mouvement, indépendamment des causes qui le produisent.
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