courbe du chien

Imaginez une cible qui avance tout droit et un chien placé à côté de sa route. Le chien ne vise pas l'endroit où la cible sera plus tard : à chaque instant, il court vers l'endroit où elle se trouve. Sa direction change donc continuellement. La trace incurvée laissée par cette poursuite est la courbe du chien.

La forme de cette trace dépend surtout du rapport entre les deux vitesses. Un poursuivant assez rapide rejoint la cible ; sinon, il s'en approche sans nécessairement l'atteindre.

La courbe du chien est une courbe de poursuite plane. La cible suit une droite à vitesse constante. Le poursuivant se déplace lui aussi à vitesse de norme constante, mais son vecteur vitesse pointe toujours vers la position instantanée de la cible. Il réagit donc à la position présente, sans anticiper une position future.

On note C(t) la position de la cible à l'instant t, P(t) celle du poursuivant, $\mathbf{u}\backslash mathbf\; u$ le vecteur vitesse constant de la cible et s la vitesse du poursuivant. Tant que les deux mobiles sont distincts, le modèle s'écrit :

Cette équation différentielle fixe à chaque instant la tangente à la courbe. Dans la configuration classique où le poursuivant part hors de la droite parcourue par la cible, une vitesse s strictement supérieure à la norme de u conduit à une jonction en temps fini. À vitesses égales, la distance peut tendre vers zéro sans s'annuler en temps fini dans cette configuration. Les positions initiales et les directions restent indispensables : si les mobiles coïncident déjà, il n'y a aucune poursuite à résoudre.

Sur un schéma de poursuite, la cible laisse une trace droite tandis que le poursuivant décrit une courbe qui se rabat vers cette droite. Plusieurs segments joignant les positions simultanées des deux mobiles peuvent apparaître. La tangente à la courbe du poursuivant est alors dirigée le long de chacun de ces segments.

On reconnaît aussi une origine pour chaque mobile, un sens de déplacement et une échelle de temps ou de longueur. Le dessin porte deux informations distinctes : la trajectoire déjà parcourue et la règle de visée instantanée qui engendre cette trajectoire.

La grandeur essentielle est la distance séparant les deux mobiles au même instant. Pour lire une courbe du chien, il faut conserver un référentiel fixe et une même unité pour toutes les longueurs.

1. Repérez la droite de la cible, son origine et son sens. 2. Repérez le point de départ du poursuivant. 3. En un point de sa courbe, suivez la tangente : elle doit viser la position simultanée de la cible. 4. Comparez les vitesses, puis cherchez si la courbe atteint la droite en un point de jonction.

L'œil peut croire que la courbe vise le point final. En réalité, chaque tangente vise une position différente de la cible. Le bon réflexe consiste à associer les deux positions par le même instant, et non par leur seule proximité dans la représentation.

Une cible part du point C₀ et avance horizontalement à 1 m/s. Un chien part du point P₀, situé 10 m perpendiculairement au-dessus de C₀, et court à 2 m/s en visant constamment la cible.

Données :
distance initiale a = 10 m ;
vitesse de la cible u = 1 m/s ;
vitesse du chien s = 2 m/s ;
directions initiales perpendiculaires.

1. Le rapport des vitesses vaut u/s = 1/2. Comme 2 m/s est strictement supérieur à 1 m/s, la jonction a lieu en temps fini.

2. Pour ce départ perpendiculaire, la solution de l'équation différentielle donne le temps de jonction :

3. Pendant ce temps, la cible parcourt u × t_J = 20/3 m, soit environ 6,67 m. Le point de jonction J se trouve donc sur sa droite, à 20/3 m de C₀.

Le contrôle consiste à remplacer a, s et u dans la formule : le dénominateur vaut exactement 3 m²/s² et le résultat a bien l'unité d'un temps. La trajectoire calculée rejoint alors la droite exactement en J.

En robotique, la poursuite pure commande un mobile en orientant son mouvement vers une cible détectée. Si sa trajectoire future est connue et que l'on veut réduire le détour, une interception anticipée est préférable.

Dans un système de guidage, le modèle fournit une référence simple : la direction est corrigée continuellement vers la cible. Lorsque les contraintes d'accélération ou le délai de mesure deviennent visibles, un modèle dynamique plus complet doit remplacer cette règle idéale.

Dans un jeu de poursuite, la courbe sert de stratégie de comparaison. Elle décrit un poursuivant réactif, tandis qu'une stratégie d'interception exploite une prévision ; le critère observable est le point visé, présent ou futur.

Une trajectoire d'interception. Le poursuivant vise un point futur calculé sur la route de la cible. Dans une courbe du chien, sa tangente vise au contraire la position actuelle de la cible. Une visée fixe en avant de la cible tranche donc en faveur de l'interception.

Une tractrice. La tractrice modélise un point tiré par un segment tendu dont l'autre extrémité avance sur une droite. La courbe du chien vient d'un mobile autonome qui dirige sa vitesse vers une cible. Un segment de longueur imposée caractérise la tractrice, pas la poursuite pure.

Vitesses égales. Dans la configuration classique avec un départ hors de la route, le poursuivant ne rejoint pas la cible en temps fini. La courbe peut s'en approcher toujours davantage ; il ne faut pas transformer cette convergence en rencontre effective.

Poursuivant plus lent. Si sa vitesse est inférieure à celle de la cible qui fuit en ligne droite, la distance finit par croître. Il faut alors étudier une autre stratégie ou admettre l'absence de jonction.

Point de jonction. L'équation de direction contient la distance au dénominateur et cesse d'être définie lorsque les positions coïncident. La courbe s'arrête au premier instant de rencontre ; elle ne prescrit pas la suite du mouvement.

Modèle idéal. La règle suppose une information instantanée, une rotation sans délai et des vitesses imposées. Si le poursuivant ne peut pas virer assez vite, la trace observée ne vérifie plus exactement la direction tangentielle du modèle.

Modéliser les trajectoires montre comment passer d'un mouvement observé à une représentation mathématique exploitable.

Henri Poincaré, la géométrie et... la robotique prolonge le lien entre géométrie des mouvements et robotique.