Logique et ensemblesNotion · Glossaire
paradoxes de Zénon
Les paradoxes de Zénon sont des raisonnements par l'absurde qui contestent la possibilité du mouvement et de la pluralité en faisant apparaître des contradictions. Ils reposent notamment sur la division indéfinie d'un trajet, sur l'analyse du mouvement instant par instant ou sur la comparaison de mouvements dans des référentiels différents. Ils obligent ainsi à préciser les notions de continuité, d'infini, d'instant et de vitesse ; une infinité d'étapes peut avoir une durée totale finie lorsque la série correspondante converge.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le mécanisme propre à chacun des quatre paradoxes.
- Vérifier par deux calculs que l'infinité d'étapes d'Achille a une durée finie.
- Distinguer position instantanée, vitesse et vitesse relative.
En clair
Imaginez Achille courant derrière une tortue qui a de l'avance. Il atteint l'endroit d'où elle est partie, mais elle a avancé entre-temps. Il rejoint sa nouvelle position, mais elle s'est encore déplacée. En répétant ce découpage sans fin, le rattrapage semble toujours repoussé.
Le piège consiste à confondre une infinité d'étapes avec une durée infinie. Les paradoxes de Zénon mettent ainsi à l'épreuve notre manière de penser le mouvement, l'espace, le temps et l'infini.
Définition
Les paradoxes de Zénon sont des raisonnements par l'absurde attribués à Zénon d'Élée. Ils partent d'une certaine décomposition de l'espace, du temps ou du mouvement et conduisent à une conclusion impossible ou contraire à l'expérience. Leur cible est l'idée que le mouvement et la pluralité vont de soi. Aristote les expose et les discute dans sa Physique, au livre VI, chapitre IX.
La dichotomie divise un trajet en une infinité de distances à franchir. Achille et la tortue remplace ces divisions par les positions successives d'un poursuivi : chaque position atteinte est déjà dépassée. La flèche affirme qu'un projectile occupe, à chaque instant, un espace égal à lui-même et paraît donc immobile. Le stade compare un train immobile et deux trains en sens contraires : deux wagons dépassés dans un référentiel correspondent à quatre wagons croisés dans l'autre.
Ces quatre arguments ne reposent pas sur le même mécanisme. Les deux premiers portent sur une infinité d'étapes, le troisième sur le sens du mouvement à un instant, et le quatrième sur la comparaison de mouvements relatifs. Les traiter exige donc respectivement une somme de durées, une notion de vitesse instantanée et un référentiel explicite.
Un exemple, pas à pas
Achille court à 10 m/s. La tortue avance à 1 m/s et part 100 m devant lui. Les vitesses restent constantes, les deux mobiles suivent la même ligne et le chronomètre démarre au même instant.
1. Achille atteint la position initiale de la tortue en 100 ÷ 10 = 10 s. Pendant ce temps, la tortue parcourt 10 m et se trouve à 110 m.
2. Achille parcourt les 10 m suivants en 1 s. La tortue gagne alors 1 m et atteint 111 m. L'étape suivante dure 0,1 s, puis 0,01 s, et ainsi de suite.
3. La durée totale est la somme des étapes : secondes. Une infinité de durées décroissantes a donc ici une somme finie.
4. La position du rattrapage est m, soit environ 111,11 m depuis le départ d'Achille. La succession des premières positions rend visible ce resserrement.
Le contrôle se fait sans série : la vitesse de rapprochement vaut 10 − 1 = 9 m/s. Il faut donc 100 ÷ 9 = 100/9 s pour combler exactement les 100 m d'avance.
En pratique
Face à un trajet découpé à l'infini, on additionne les distances ou les durées au lieu de compter seulement les étapes. Si les termes diminuent assez vite, une suite géométrique fournit une somme finie ; sinon, il faut étudier la série concernée.
Lorsqu'un argument conclut qu'un objet est immobile parce que sa position est fixée à chaque instant, on distingue la position de son taux de variation. Une description instantanée ne remplace pas la comparaison des positions à des instants voisins.
Quand deux mobiles se croisent, on choisit d'abord le référentiel. Le nombre de wagons croisés change avec la vitesse relative ; une comparaison avec le quai ne se transpose pas telle quelle à un train roulant en sens inverse.
À ne pas confondre
Un paradoxe n'est pas une simple contradiction. Une contradiction juxtapose deux affirmations incompatibles. Un paradoxe part de prémisses et d'un raisonnement apparemment recevables, puis aboutit à une conclusion surprenante ou impossible ; le travail consiste à repérer la prémisse ou l'inférence en cause.
Les paradoxes de Zénon ne se confondent pas non plus avec la méthode générale du raisonnement par l'absurde. Cette méthode prouve une proposition en montrant que sa négation conduit à une contradiction. Chez Zénon, elle sert à contester une conception du mouvement et de la pluralité.
Limites et pièges
Une infinité d'étapes ne garantit pas une durée finie. Dans l'exemple d'Achille, chaque durée vaut un dixième de la précédente, ce qui donne une somme finie. Si toutes les étapes duraient 1 s, leur somme serait au contraire sans borne. Il faut donc examiner les durées, pas seulement leur nombre.
Occuper une position déterminée à un instant ne signifie pas avoir une vitesse nulle. Le symptôme du piège est l'absence de comparaison temporelle. Il faut définir la vitesse par la variation de la position autour de l'instant considéré.
Dans le stade, deux wagons dépassés et quatre wagons croisés ne mesurent pas deux durées différentes. Ils décrivent la même durée avec deux vitesses relatives. Il faut fixer le train de référence avant de comparer ces nombres.
La somme d'une série modélise le temps ou la distance totale ; elle ne transforme pas matériellement le mouvement en une liste d'arrêts. Confondre le modèle de décomposition avec une succession physique de repos recrée le paradoxe au lieu d'en examiner les prémisses.
Pour aller plus loin
La suite géométrique montre comment une infinité de termes décroissants peut posséder une somme finie, comme les durées successives de l'exemple d'Achille.
Le Raisonnement par l'absurde précise la forme logique qui consiste à pousser une hypothèse jusqu'à une contradiction.
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