épicycle

Imaginez un petit manège installé sur le bord d’un grand manège. Le centre du petit cercle avance sur le grand cercle, tandis qu’un point peut tourner autour de ce centre mobile. Le petit cercle est l’épicycle et le grand, le déférent.

Vu depuis le centre du déférent, le déplacement obtenu combine donc deux mouvements circulaires. Selon les positions des deux rotations, le point s’éloigne du centre principal ou s’en rapproche.

Un épicycle est un cercle de rayon r dont le centre C se déplace sur un cercle fixe, le déférent. Le déférent a pour centre O et pour rayon R. Un point P porté par l’épicycle est ainsi déterminé par deux positions angulaires : celle du centre C autour de O, puis celle de P autour de C.

Dans un repère d’origine O, on note α l’angle du déférent et β l’angle de l’épicycle, tous deux mesurés depuis le même axe fixe. Les coordonnées de P sont alors : Cette écriture exprime l’addition du vecteur allant de O à C et du vecteur allant de C à P. Elle n’impose ni vitesse uniforme, ni sens commun aux deux rotations.

Introduit par Hipparque pour représenter les mouvements planétaires apparents, le dispositif a ensuite été intégré et largement développé dans la théorie géocentrique de Ptolémée. Il y rendait compte d’irrégularités observées dans les trajectoires apparentes des planètes.

On considère un déférent centré en O, de rayon R = 100, et un épicycle de rayon r = 30. Le centre C de l’épicycle est à l’angle α = 60°. Le point P est placé à l’angle β = 180°, mesuré depuis le même axe horizontal. Ces deux angles décrivent un instant du mouvement, sans imposer leur vitesse. On cherche la position de P dans le repère centré en O, puis on vérifie que ce point appartient bien à l’épicycle.

1. Les coordonnées du centre mobile sont C = (100 cos 60° ; 100 sin 60°), soit exactement C = (50 ; 50√3).

2. Du centre C au point P, le déplacement vaut (30 cos 180° ; 30 sin 180°), donc (−30 ; 0).

3. En additionnant les deux déplacements, on obtient P = (20 ; 50√3), soit environ (20 ; 86,6).

4. La distance au centre principal vaut $OP=\sqrt{{20}^2+(50\sqrt{3}{)}^2}=10\sqrt{79}\approx \mathrm{88,9}OP=\backslash sqrt\{20^2+(50\backslash sqrt\{3\})^2\}=10\backslash sqrt\{79\}\backslash approx88\{,\}9$. Le contrôle consiste à recalculer la distance CP : elle vaut exactement 30, le rayon annoncé de l’épicycle.

Pour construire une position, on place d’abord le centre C sur le déférent, puis on trace autour de C le cercle de rayon r. On place enfin P sur ce second cercle. Cette construction est préférable à un cercle unique lorsque la distance OP doit varier.

Pour calculer une trajectoire, on choisit l’évolution des deux angles et on additionne les deux vecteurs circulaires. Si le centre du petit cercle ne se déplace pas sur un cercle, le modèle de l’épicycle ne convient pas tel quel : il faut décrire directement la courbe suivie par ce centre.

Dans le modèle géocentrique de Ptolémée, cette combinaison servait à représenter des irrégularités des mouvements planétaires apparents. Le geste mathématique consiste à ajuster deux mouvements circulaires plutôt qu’à remplacer la trajectoire par un seul cercle.

Épicycle et déférent. Le déférent est le cercle sur lequel se déplace le centre de l’épicycle. Dans l’exemple, OC vaut 100 tandis que CP vaut 30 : le cercle centré en O est donc le déférent, celui centré en C est l’épicycle.

Épicycle et trajectoire du point. L’épicycle est le cercle mobile autour de C, pas nécessairement la courbe complète décrite par P autour de O. Pour trancher, on regarde le centre : s’il reste C, on parle du cercle épicycle ; si l’on suit P dans le repère de O, on observe la trajectoire composée.

Rayon nul. Si r = 0, l’épicycle se réduit à son centre C et le point P suit le déférent. Le symptôme est l’absence totale de seconde rotation visible ; il suffit alors d’employer le cercle déférent.

Angles liés. La forme de la trajectoire dépend de la manière dont α et β évoluent. Des rayons seuls ne suffisent donc pas à prévoir la courbe : il faut aussi préciser les sens, les vitesses et les positions initiales des deux mouvements.

Repères mélangés. La formule donnée mesure les deux angles depuis le même axe fixe. Si β est plutôt mesuré par rapport au rayon OC, l’angle absolu du second vecteur devient α + β. Il faut convertir la convention avant d’additionner les coordonnées.

Dessin trompeur. Une figure à un instant ne montre pas à elle seule le mouvement du centre C. Pour reconnaître un épicycle, on vérifie que C est contraint au déférent et que la distance CP reste égale au rayon r.

La formule des coordonnées montre que la position finale est une somme de deux vecteurs tournants. Pour prolonger l’étude, on peut faire varier les deux angles et comparer les courbes obtenues lorsque leurs vitesses ont même sens, sens opposés ou rapports différents. Si les deux vitesses angulaires sont constantes et si leur rapport est rationnel, les deux angles retrouvent ensemble leurs positions initiales après un temps fini ; la trajectoire se referme alors.