univers de de Sitter

Imaginez des points régulièrement répartis sur une grille qui s'agrandit. Après chaque même durée, les distances entre ces points comobiles, mesurées sur une même tranche spatiale, sont multipliées par le même facteur d'échelle. Elles augmentent donc de plus en plus vite : c'est une expansion exponentielle.

L'univers de de Sitter idéalise cette situation sans matière ordinaire. Sa dynamique vient uniquement d'une constante cosmologique positive, notée Λ. Aucun endroit ni aucune direction n'est privilégié, car le modèle est homogène et isotrope.

L'univers de de Sitter est une solution exacte des équations d'Einstein en quatre dimensions. Toute sa densité d'énergie provient d'une constante cosmologique positive, notée Λ ; la matière ordinaire y est absente. L'espace-temps est homogène et isotrope. Avec la convention où, dans le vide, le tenseur d'Einstein plus Λ fois le tenseur métrique est nul, et avec le signe du tenseur de Riemann pour lequel de Sitter a une courbure positive, sa courbure scalaire, qui mesure ici la courbure de l'espace-temps entier, vérifie $R=4\mathrm{\Lambda }R=4\backslash Lambda$.

Dans une découpe en espaces plats, appelée foliation plate, le facteur d'échelle a dépend du temps t selon une loi exponentielle. Si a₀ est sa valeur initiale et H un taux d'expansion constant positif piloté par Λ, alors :

Cette écriture décrit une expansion accélérée. Une autre foliation du même espace-temps peut donner aux tranches spatiales une courbure positive ou négative : leur signe n'est donc pas la courbure intrinsèque de l'espace-temps complet. Willem de Sitter a proposé ce modèle en 1917, au moment où Einstein présentait son modèle statique. Si la constante cosmologique finit par dominer la dynamique de notre univers, le modèle de de Sitter en décrit le comportement asymptotique.

Considérons une foliation plate et un temps t sans unité, choisi pour que le taux exponentiel vaille 1. Les données sont : a(0) = 1 ; quatre instants t = 0, 1, 2 et 3 ; la loi $a(t)=e^{t}a(t)=e^t$. La courbe associée rend visible l'écart croissant entre valeurs successives.

1. À l'instant 0, $a(0)=e^0=1a(0)=e^0=1$.
2. À l'instant 1, $a(1)=e^1\approx \mathrm{2,718}a(1)=e^1\backslash approx\; 2\{,\}718$.
3. À l'instant 2, $a(2)=e^2\approx \mathrm{7,389}a(2)=e^2\backslash approx\; 7\{,\}389$.
4. À l'instant 3, $a(3)=e^3\approx \mathrm{20,086}a(3)=e^3\backslash approx\; 20\{,\}086$.

Le facteur d'échelle est donc multiplié par e, soit environ 2,718, pendant chaque intervalle de même durée. Le contrôle consiste à multiplier la valeur exacte e² par e : on retrouve e³. Les écarts absolus augmentent, même si le multiplicateur reste constant ; c'est la signature de la croissance exponentielle.

En cosmologie théorique, le modèle sert de référence pour isoler l'effet d'une constante cosmologique positive. Si la matière contribue encore de façon non négligeable, il faut employer un modèle qui l'inclut au lieu d'un univers de de Sitter exact.

Pour étudier un futur dominé par Λ, on compare l'évolution du modèle considéré à l'expansion exponentielle de de Sitter. Un rapprochement progressif indique un comportement asymptotique de type de Sitter, sans rendre identiques toutes les époques antérieures.

Pour lire des coordonnées cosmologiques, on vérifie la foliation utilisée. Des tranches spatiales plates, sphériques ou hyperboliques peuvent décrire le même espace-temps de de Sitter ; leur courbure apparente ne suffit donc pas à identifier des géométries différentes.

Le modèle statique d'Einstein. Dans la description cosmologique FLRW adoptée ici, le facteur d'échelle varie exponentiellement pour l'univers de de Sitter, tandis qu'il reste constant dans le modèle statique d'Einstein. Ce critère ne vaut qu'après avoir fixé cette foliation, car de Sitter admet aussi des coordonnées statiques.

La constante cosmologique et l'énergie sombre en général. Dans cette fiche, Λ fournit toute la densité d'énergie. Un modèle où l'énergie responsable de l'accélération n'est pas une constante cosmologique pure n'est pas, pour cette seule raison, un univers de de Sitter exact.

Un espace-temps plat. Une foliation spatiale plate ne rend pas plat l'espace-temps de de Sitter. Le critère décisif est sa courbure scalaire positive R = 4Λ, et non le seul signe de la courbure d'une tranche d'espace.

« Vide » ne signifie pas absence de toute énergie. La matière ordinaire est nulle, mais Λ fournit toute la densité d'énergie. Si une densité de matière non nulle intervient, le modèle n'est plus le de Sitter exact défini ici.

Le signe de la courbure spatiale dépend du découpage. Une tranche peut avoir une courbure positive, nulle ou négative selon la foliation. Il faut examiner la géométrie complète, dont la courbure scalaire vaut R = 4Λ, plutôt que conclure à partir d'une seule tranche.

La loi exponentielle est exacte sous les hypothèses du modèle. Dans l'exemple normalisé, passer de t = 0 à t = 1 multiplie a par e. Ajouter de la matière change la dynamique ; on ne doit alors plus prolonger mécaniquement cette même loi.

Une approximation asymptotique n'est pas une identité. Dire que notre univers tend vers un comportement de de Sitter suppose que Λ domine sa dynamique. Cette description du futur ne signifie pas que son histoire entière soit un univers de de Sitter vide.

Constante cosmologique — Pour préciser le rôle du paramètre Λ qui pilote l'expansion du modèle.

Sitter Willem de — Pour situer le physicien et astronome auquel le modèle doit son nom.