Quand 60 divise 9

On peut définir dans l’ensemble D des nombres décimaux la notion de divisibilité comme on le fait habituellement pour les entiers, en disant que le nombre décimal a divise le nombre décimal b s’il existe un nombre décimal c tel que b = a × c. Les entiers étant des nombres décimaux, on en déduit que, pour deux entiers a et b, si a divise b au sens habituel, cette propriété est encore vraie dans l’univers des nombres décimaux. Cependant, la réciproque est fausse : 2 divise 3 (puisque 3 = 2 × 1,5), ou encore 60 divise 9 (puisque 9 = 60 × 0,15).

Dans l’ensemble $\mathbb{Z}\backslash mathbb\{Z\}$ des entiers relatifs, seuls 1 et – 1 sont inversibles. Pour tout autre entier non nul n, la fraction 1 / n ne définit pas un entier. Au contraire, dans D, une infinité d’éléments possèdent cette propriété. Par exemple, tous les nombres de la forme ± 2ⁿ5^p, où n et p désignent des entiers, sont inversibles ; ce sont d’ailleurs les seuls si l’on fait varier n et p dans $\mathbb{Z}\backslash mathbb\{Z\}$ . Deux décimaux a et b seront dits associés s’il existe un décimal u inversible tel que a = b × u. L’intérêt de cette définition est que deux nombres associés jouent exactement le même rôle vis-à-vis de la notion de divisibilité ; en particulier, ils possèdent les mêmes diviseurs.