Pour un pentagone A1A2A3A4A5, notons *ai l’aire du triangle « de coin » de sommets Ai* et ses deux voisins.
Un triangle de coin de Gauss.
Gauss a démontré que l’aire du pentagone est la plus grande racine du polynôme
x2 – sx + p où s = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 et p = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5 + a5a1.
Dans le cas du pentagone régulier, en notant a l’aire du triangle de coin,on a s = 5a,
p = 5a2, et donc l’aire du pentagone régulier vaut φ étant le nombre d’or.
Cette relation est en fait équivalente à celle attribuée à Gaspard Monge :
a23a45 + a25a34 = a24a35 où *aij désigne l’aire du triangle A*1*AiAj*.
Triangles en jeu dans la formule de Monge.
L’équivalence entre les deux formules se fait en remarquant que si les trois sommets A1, *Ai, Aj sont à la suite, alors aij est un des ai, et que sinon nous avons aij = A – ak – al, où A est l’aire du pentagone et les valeurs distinctes (i, j, k, l ) sont prises dans l’ensemble (2, 3, 4, 5). Par exemple, a*34 = A – a2 – a5.
La relation de Monge se démontre, quant à elle, en recourant aux seules formules élémentaires de calcul d’aire de triangle.
