Pythagore Héron

La donnée des longueurs a, b, c de trois segments détermine, à une symétrie près, le triangle acceptant ces segments pour côtés et, de façon univoque, son aire.

L’aire A du triangle étant indépendante de la notation des côtés, on cherche pour son expression une fonction f homogène, du second degré et symétrique par rapport aux variables a, b et c, donc telle que f (λa, λb, λc) = λ²f (a, b, c) et telle que f (a, b, c) soit indépendant de l’ordre des variables.

Quand la longueur d’un côté est égale à la somme des longueurs des deux autres côtés, le triangle est plat et son aire nulle. Cette condition s’écrit, par exemple, a = b + c, mais aussi, de façon plus symétrique, 2a = a + b + c. En notant p = (a + b + c)/2 le demi-périmètre, un triangle est donc d’aire nulle quand le demi-périmètre est égal à un des côtés.

Nous cherchons alors une fonction g(a, b, c), homogène symétrique du premier degré en les côtés, pour pouvoir écrire A² (a, b, c) = g (a, b, c)( p – a) ( p – b) ( p – c). La seule possibilité est d’avoir g (a, b, c) = Cp, où C est une constante.