Arrojando luz sobre las sombras: matemáticas y visión | Tangente

« El sol nunca ve la sombra», decía Leonardo da Vinci, lo que ya demuestra la importancia que tenía la noción de sombra en su época. Mucho antes de él, esta noción había cobrado valor, pues se utilizó para medir alturas inaccesibles: los geómetras de la Antigüedad comprendieron que ver la sombra de un objeto ya permite hacerse una idea de sus dimensiones. Durante el Renacimiento, la sombra se convirtió en instrumento de los teóricos de la perspectiva, convencidos de que ver la sombra de un objeto ya es, en cierta medida, reconocerlo y, por tanto, saber dibujarlo con la ilusión de lo real, diríamos hoy, «en 3D».

Algunos siglos después, los informáticos utilizaron la sombra «propia» de los objetos para representar en pantalla el relieve de las cosas: ¿quién ha olvidado la célebre «tetera de Utah», creada en 1975 por Martin Newell y convertida en un auténtico objeto de culto en el mundo de la informática gráfica? La noción de sombra ejerce, por tanto, una gran influencia sobre nuestro entorno espacial.

La sombra al sol -----------------

Utilizar la sombra proyectada por el sol para medir distancias inaccesibles es una historia antigua, que se remonta aproximadamente al 6^.º siglo antes de nuestra era. Numerosas fuentes atestiguan que Tales no solo había viajado a Egipto, sino que había medido la altura de las pirámides «observando la longitud de su sombra en el momento en que nuestra sombra es igual a nuestra propia altura». ¿El procedimiento? Partir del principio de que los rayos del sol son paralelos y utilizar triángulos, que más adelante llamaremos semejantes. ¿El método? Mostrar, según Plutarco, «plantando un bastón en el extremo de la sombra de la pirámide y creando, por la incidencia de los rayos del sol, dos triángulos, que la pirámide guardaba con el bastón la misma proporción que la sombra de la pirámide con la sombra del bastón». Hechos todos los cálculos, obtenemos:

Al considerar paralelos los rayos solares, la sombra es exactamente la imagen de un objeto mediante una proyección paralela sobre el suelo, que no es otra cosa que su dibujo en perspectiva paralela. Conocer una sombra ya es saber pasar del espacio al plano y, por tanto, dibujar en perspectiva. La sombra de un segmento siempre es un segmento y los puntos medios se conservan. Así, el dibujo se realiza de manera completamente natural.

La sombra a la luz de una antorcha -------------------

Para la sombra llamada a la luz de una antorcha, la situación es distinta, pues aquí todos los rayos luminosos proceden de un mismo punto, la antorcha; pero saber dibujar la sombra proyectada en estas condiciones equivale a saber dibujar una imagen mediante proyección central. La situación de la sombra a la luz de una antorcha es, por tanto, exactamente la de la perspectiva central, que Durero (1471-1528) ilustró tan bien con su dispositivo llamado ventana de Durero, en el que un visor fija la posición del ojo del operador y se sitúa una ventana entre este ojo y el objeto que se desea representar. Cada punto de este objeto queda representado por la intersección del plano de la ventana con el rayo luminoso que une ese punto al ojo, del mismo modo que la sombra de un punto es la intersección del rayo que parte de la antorcha y pasa por ese punto con el plano de la pantalla —la pared, el suelo o cualquier otra superficie plana— sobre el que se proyectará la sombra.

Las técnicas para dibujar sombras, que llevan a «aplanar» en dos dimensiones un objeto dado en tres dimensiones, son también las del dibujo en perspectiva: siempre se gana sabiendo trazar líneas más deprisa que la propia sombra…