Cuando se habla de grupos en el arte, se piensa primero en los teselados periódicos del plano. Estos grupos de teselados, llamados a veces grupos de papel pintado, son 17 en total (véase el artículo «Simetrías que dejan invariantes los objetos»).
El teselado del plano se construye a partir de una «baldosa» elegida entre los paralelogramos cualesquiera (rectángulos, cuadrados, rombos o hexágonos regulares). El tema de los teselados regulares ya se ha tratado ampliamente en nuestras páginas (véase Tangente 99, 2004; Maths et Arts plastiques, Bibliothèque Tangente 23, 2019; o también Découpages et Pavages, Bibliothèque Tangente 64, 2018).
La construcción de estos grupos de teselados periódicos se emplea mucho en el arte y la arquitectura. Los artesanos que trabajaron en las suntuosas decoraciones de la Alhambra de Granada y el grabador Maurits Cornelis Escher (1898–1972) nos han dejado testimonios excepcionales de su destreza. De hecho, Escher es sin duda el artista que nos ha proporcionado las más bellas ilustraciones de teselados regulares. La idea del artista consiste en partir de estas «baldosas» básicas de formas geométricas para crear una retícula regular sobre la que superpone motivos que pueden representar animales o personajes.
Gerhard Richter y el grupo de las permutaciones ---------------------------------------------
El artista alemán Gerhard Richter (nacido en 1932) realiza una suerte de muestrarios compuestos por cuadrados de distintos colores, como su serie 1024 Farben («1024 colores»). Para esta serie parte de los tres colores primarios y el gris, y los combina de todas las maneras posibles. Obtiene así 4 × 4 = 16 colores nuevos, que vuelve a combinar con los cuatro colores iniciales, llegando a 16 × 4 = 64 nuevos matices. Repite el procedimiento y obtiene después 64 × 4 = 256 y, por último, 256 × 4 = 1024 matices. Decide representar mil veinticuatro cuadrados en un lienzo y colorear cada uno con uno de esos matices. Numera sus colores y extrae al azar los números escritos en papeles; el orden de los cuadrados coloreados se genera, por tanto, aleatoriamente para dar al resultado un aspecto «difuso y aleatorio». Obtiene así un elemento del grupo simétrico del conjunto de sus mil veinticuatro colores. Hizo el cálculo: «Si hubiera pintado todas las permutaciones posibles, la luz habría tardado más de cuatrocientos billones de años en recorrer el camino que va de la primera a la última imagen», sabiendo que el número exacto de tales permutaciones es igual a 1024 × 1023 × 1022 ×… × 2 × 1. Este número es realmente vertiginoso: vale aproximadamente 5,4 × 102639.