Lorsqu’on évoque les groupes en art, on pense d’abord aux pavages périodiques du plan. Ces groupes de pavages, parfois appelés groupes de papier peint, sont au nombre de 17 (voir article « Des symétries qui laissent les objets invariants »).
Le pavage du plan se fait à partir d’un « pavé » choisi parmi les parallélogrammes quelconques (les rectangles, les carrés, les losanges ou les hexagones réguliers). Le sujet des pavages réguliers a déjà été abondamment traité dans nos colonnes (voir Tangente 99, 2004 ; Maths et Arts plastiques, Bibliothèque Tangente 23, 2019 ; ou encore Découpages et Pavages, Bibliothèque Tangente 64, 2018).
La construction de ces groupes de pavages périodiques est très utilisée en art et en architecture. Les artisans qui ont travaillé aux somptueux décors de l’Alhambra de Grenade et le graveur Maurits Cornelis Escher (1898–1972) nous ont laissé des témoignages exceptionnels de leur savoir-faire. De fait, Escher est certainement l’artiste qui nous a fourni les plus belles illustrations de pavages réguliers. L’idée de l’artiste est de partir de ces « pavés » de base aux formes géométriques pour créer un maillage régulier, sur lequel il calque des motifs pouvant représenter des animaux ou des personnages.
Gerhard Richter et le groupe des permutations ---------------------------------------------
L’artiste allemand Gerhard Richter (né en 1932) réalise des sortes de nuanciers composés de carrés de couleurs différentes, comme sa série 1024 Farben (« 1024 couleurs »). Pour cette série, il part des trois couleurs primaires et du gris, puis il les combine de toutes les façons possibles. Il obtient ainsi 4 × 4 = 16 nouvelles couleurs, qu’il combine à nouveau avec les quatre couleurs de départ, et aboutit à 16 × 4 = 64 nouvelles nuances. Il itère le procédé et arrive ensuite à 64 × 4 = 256, puis enfin 256 × 4 = 1024 nuances au final. Il choisit de représenter mille vingt-quatre carrés sur une toile et de colorer chacun d’entre eux avec l’une de ces nuances. Il numérote ses couleurs puis tire au hasard les numéros écrits sur des papiers ; l’ordre des carrés colorés est donc généré de façon aléatoire afin de donner au résultat un aspect « diffus et aléatoire ». Il obtient ainsi un élément du groupe des permutations de l’ensemble de ses mille vingt-quatre couleurs. Il a fait le calcul : « Si j’avais peint toutes les permutations possibles, la lumière aurait mis plus de quatre cents billions d’années pour parcourir le chemin qui va de la première à la dernière image », sachant que le nombre exact de ces permutations est égal à 1024 × 1023 × 1022 ×… × 2 × 1. Ce nombre est vraiment vertigineux : il vaut environ 5,4 × 102639.