Quando si parla di gruppi nell’arte, si pensa anzitutto alle tassellazioni periodiche del piano. Questi gruppi di tassellazioni, talvolta chiamati gruppi di carta da parati, sono 17 (vedi l’articolo « Simmetrie che lasciano invariati gli oggetti »).
La tassellazione del piano si ottiene a partire da un «tassello» scelto tra parallelogrammi qualsiasi (rettangoli, quadrati, rombi o esagoni regolari). L’argomento delle tassellazioni regolari è già stato ampiamente trattato nelle nostre pagine (vedi Tangente 99, 2004 ; Maths et Arts plastiques, Bibliothèque Tangente 23, 2019 ; oppure Découpages et Pavages, Bibliothèque Tangente 64, 2018).
La costruzione di questi gruppi di tassellazioni periodiche è molto usata nell’arte e nell’architettura. Gli artigiani che lavorarono alle sontuose decorazioni dell’Alhambra di Granada e l’incisore Maurits Cornelis Escher (1898–1972) ci hanno lasciato testimonianze eccezionali della loro maestria. Escher è certamente l’artista che ci ha offerto le più belle illustrazioni di tassellazioni regolari. L’idea dell’artista è quella di partire da questi «tasselli» geometrici di base per creare una griglia regolare, sulla quale sovrappone motivi che possono rappresentare animali o personaggi.
Gerhard Richter e il gruppo delle permutazioni ---------------------------------------------
L’artista tedesco Gerhard Richter (nato nel 1932) realizza una sorta di campionari composti da quadrati di colori diversi, come nella sua serie 1024 Farben («1024 colori»). Per questa serie parte dai tre colori primari e dal grigio, poi li combina in tutti i modi possibili. Ottiene così 4 × 4 = 16 nuovi colori, che combina nuovamente con i quattro colori di partenza, giungendo a 16 × 4 = 64 nuove tonalità. Ripete il procedimento e arriva poi a 64 × 4 = 256, infine a 256 × 4 = 1024 tonalità. Sceglie di rappresentare milleventiquattro quadrati su una tela e di colorarne ciascuno con una di queste tonalità. Numera i colori, poi estrae a caso i numeri scritti su foglietti; l’ordine dei quadrati colorati viene quindi generato casualmente, per dare al risultato un aspetto «diffuso e aleatorio». Ottiene così un elemento del gruppo delle permutazioni delle sue milleventiquattro tonalità. Fece il calcolo: «Se avessi dipinto tutte le permutazioni possibili, la luce avrebbe impiegato più di quattrocentomila miliardi di anni per percorrere il cammino che va dalla prima all’ultima immagine», sapendo che il numero esatto di tali permutazioni è 1024 × 1023 × 1022 ×… × 2 × 1. Questo numero è davvero vertiginoso: vale circa 5,4 × 102639.