Les mathématiques pratiquées et enseignées dans le monde arabo-musulman sont caractérisées par une grande variété de sujets. À partir du IXe siècle, plusieurs textes sont consacrés à la « science de la restauration et de la comparaison » (‘ilm al-jabr wa al-muqābala). Cette science, dont le premier mot donnera le terme « algèbre », ne correspond pas encore à une discipline, mais plutôt à un « art » avec ses règles et méthodes spécifiques et son corpus de problèmes typiques. Dans les classifications des sciences, l’algèbre est alors souvent considérée comme une sous-branche de la science du calcul (‘ilm al-ḥisāb) et ses objets peuvent être des nombres, des grandeurs, ou bien des objets concrets impliqués dans un calcul.
Al-Zanjānī et la tradition algébrique
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Parmi les contributions rédigées au XIIIe siècle figure le livre Balance de l’équation dans la science d’algèbre et al-muqābala. Écrit par le mathématicien persan al-Zanjānī, ce traité en dix chapitres est consacré à l’étude du calcul algébrique. Nous disposons de peu d’informations certaines par rapport à la vie d’al-Zanjānī. Originaire de la région de Zanjān, selon les bio-bibliographes il aurait voyagé et travaillé pour une partie de sa vie à Tabriz avec le célèbre mathématicien et philosophe Naṣir al-Dīn al-Ṭūsī. Le nom d’al-Zanjānī est associé à une production très variée, qui inclut aussi bien des textes littéraires que scientifiques. Certaines sources attribuent ces écrits à une même personne, tandis que d’autres envisagent l’existence de deux savants, tels que le père et le fils.
Sont attribués à al-Zanjānī un livre d’arithmétique appelé L’appui des arithméticiens et transmis en binôme avec Balance de l’équation, deux autres textes d’arithmétique (une épître et un traité sur le « calcul aérien », voir l'article), un livre de géométrie et un livre sur la construction de l’astrolabe. Il est important de rappeler que, dans ce contexte, l’arithmétique correspond à un ensemble d’approches très hétérogènes au calcul et à la théorie du nombre. Les maîtres calculateurs comme al-Zanjānī font précisément de cette hétérogénéité la clé pour développer l’algèbre : il s’agit d’étudier les nombres et les opérations afin de repérer les méthodes arithmétiques qui peuvent être transposées en algèbre et inversement. Une telle approche était déjà typique des premiers textes d’algèbre d’al-Khwārizmī et d’Abū Kāmil. Autour de l’année 1000, le mathématicien al-Karajī inaugure une nouvelle phase de cette tradition en abordant :
• l’étude des opérations arithmétiques et algébriques élémentaires, de l’extraction de racines carrées, ainsi que de certains théorèmes arithmétiques ;
