abaque de Black

Imaginez que l'on règle un système qui corrige en permanence son propre écart. À chaque fréquence, on place un point d'après deux mesures de la boucle ouverte : son décalage de phase et son gain en décibels. Tous ces points forment une courbe sur l'abaque de Black.

Un quadrillage de courbes déjà tracées indique alors ce que devient la réponse lorsque la boucle est refermée. Le même dessin met ainsi en regard le réglage disponible et son effet, sans recalculer séparément chaque fréquence.

L'abaque de Black-Nichols est un repère fréquentiel destiné à l'étude d'une boucle de rétroaction. Pour chaque pulsation ω, la fonction de transfert en boucle ouverte L(jω) fournit un point : son argument, exprimé en degrés, donne l'abscisse ; son module converti en décibels, 20 log₁₀|L(jω)|, donne l'ordonnée. La fréquence n'est donc pas un axe : elle paramètre le lieu parcouru par ces points.

Dans la convention d'une rétroaction négative unitaire, la fonction de transfert entre la consigne et la sortie est notée T. Elle vérifie : L'abaque superpose au repère des courbes d'égal module de T, dites courbes M, et d'égal argument de T, dites courbes N. Leur croisement avec le lieu de L permet de lire la réponse en boucle fermée.

La relation précédente est celle du transfert complémentaire et ne coïncide avec le transfert consigne-sortie que pour un retour unitaire. Si G désigne la chaîne directe et H la chaîne de retour, le gain de boucle complet est L = GH : le quadrillage standard donne alors L/(1 + L), tandis que le transfert consigne-sortie vaut G/(1 + GH). Avec une autre convention de signe, le dénominateur change ; on ne peut donc pas conserver le même quadrillage sans adapter la définition de L.

On rencontre l'abaque dans un logiciel d'automatique, un cours de régulation ou une étude de réponse fréquentielle. Le support se reconnaît à son axe horizontal gradué en degrés, à son axe vertical gradué en décibels et à un réseau courbe qui n'est pas une simple grille rectangulaire.

Le lieu ajouté sur cette grille porte les valeurs de la boucle ouverte, généralement annotées par quelques fréquences. Les courbes M et N portent, elles, le module et la phase de la boucle fermée. La zone voisine du point de coordonnées −180° et 0 dB demande une attention particulière, car elle correspond à L = −1 dans la convention de retour négatif unitaire.

La grandeur de départ est la réponse fréquentielle de la boucle ouverte L. La grandeur recherchée est la réponse en boucle fermée T, lue grâce aux courbes M et N.

1. Choisissez une pulsation et repérez sur le lieu de L le point dont l'abscisse est la phase en degrés et l'ordonnée le gain en décibels.

2. Relevez la valeur de la courbe M qui passe par ce point, ou interpolez entre deux courbes. Elle donne le gain de T en décibels. Relevez de même la courbe N pour obtenir la phase de T.

3. Répétez la lecture le long du lieu en respectant le sens des fréquences. Les phases sont souvent déroulées autour de −180°, mais l'intervalle affiché dépend du tracé : il faut lire les graduations plutôt que supposer une origine. L'œil peut croire que le réseau décrit L ; le bon réflexe consiste à séparer le lieu de boucle ouverte des contours de boucle fermée.

À une pulsation notée ω₀, prenons une boucle ouverte de module 1 et de phase −120°. Son gain vaut donc 20 log₁₀(1) = 0 dB. Nous supposons une rétroaction négative unitaire et cherchons le point correspondant de la boucle fermée.

1. Plaçons sur l'abaque le point L(jω₀) de coordonnées (−120°, 0 dB).

2. Le module 1 et la phase −120° donnent : $L(j{\omega }_0)=-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}L(j\backslash omega\_0)=-\backslash frac12-j\backslash frac\{\backslash sqrt3\}\{2\}$. Ainsi, $1+L(j{\omega }_0)=\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}1+L(j\backslash omega\_0)=\backslash frac12-j\backslash frac\{\backslash sqrt3\}\{2\}$.

3. Le numérateur et le dénominateur ont tous deux pour module 1. Le quotient T a donc un module égal à 1, soit 0 dB. Sa phase vaut −120° − (−60°) = −60°. La figure montre que le point ouvert appartient bien aux contours fermés M = 0 dB et N = −60°.

4. Contrôlons le résultat par le calcul direct : $T(j{\omega }_0)=\frac{-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}T(j\backslash omega\_0)=\backslash frac\{-\backslash frac12-j\backslash frac\{\backslash sqrt3\}\{2\}\}\{\backslash frac12-j\backslash frac\{\backslash sqrt3\}\{2\}\}=\backslash frac12-j\backslash frac\{\backslash sqrt3\}\{2\}$. Ce nombre a bien le module 1 et l'argument −60°.

Pour régler un correcteur, on fait varier ses paramètres puis on observe le déplacement du lieu de boucle ouverte par rapport aux courbes M et N. Si le besoin porte seulement sur des marges isolées ou sur deux tracés séparés, le diagramme de Bode peut être plus direct.

Pour examiner une amplification en boucle fermée, on suit le lieu et on relève la plus grande courbe M atteinte. Un calcul direct de T convient mieux lorsque seules quelques fréquences précises sont à vérifier ; l'abaque devient utile pour voir l'évolution d'ensemble.

En électronique comme en automatique, on peut comparer plusieurs réglages sur le même repère. Le geste pertinent consiste à conserver la même convention de retour et la même définition de L ; sinon, deux courbes visuellement proches ne décrivent pas le même système.

Le diagramme de Bode utilise la fréquence comme axe horizontal et sépare généralement gain et phase en deux tracés. Sur l'abaque de Black, phase et gain de L sont les deux coordonnées d'un même point. Une lecture à une fréquence donnée tranche immédiatement : cette fréquence est une abscisse dans Bode, mais un paramètre du lieu dans Black.

Le diagramme de Nyquist place L dans le plan complexe, avec partie réelle et partie imaginaire pour coordonnées. L'abaque de Black emploie à la place la phase en degrés et le module en décibels. Le point L = −1 se lit donc (−1, 0) dans Nyquist et (−180°, 0 dB) dans Black.

Le point (−180°, 0 dB) n'est pas une valeur ordinaire. Dans la convention retenue, il signifie L = −1, donc 1 + L = 0 : la formule de T n'y fournit aucune valeur finie. Si le lieu s'en approche, il faut contrôler la stabilité avec le critère complet adapté au système, et non juger la seule distance visuelle.

Une courbe M indique un gain fermé constant, pas un gain ouvert constant. Le symptôme de l'erreur est de recopier l'ordonnée du point comme valeur de T. Il faut lire l'ordonnée pour L, puis le contour M pour T ; les deux valent exceptionnellement 0 dB dans l'exemple, mais pour des raisons différentes.

Le quadrillage standard donne le transfert complémentaire T = L/(1 + L). Avec un retour non unitaire, si L = GH inclut la chaîne directe G et la chaîne de retour H, le transfert consigne-sortie vaut G/(1 + GH) et ne se lit donc pas directement sur ce quadrillage, sauf définition explicite différente de T. Avec un signe positif, le dénominateur devient 1 − L. Une incohérence de convention se manifeste par des lectures qui ne concordent pas avec un calcul direct.

Enfin, une phase peut être affichée modulo 360° ou sous une forme déroulée. Deux points notés 180° et −180° décrivent la même direction complexe, mais pas forcément le même passage continu du lieu. Il faut suivre l'ordre des fréquences avant de tirer une conclusion sur le tracé.

Les courbes M peuvent se reconstruire sans table. On fixe une valeur du module fermé |T|, puis on cherche tous les nombres complexes L qui vérifient |L/(1 + L)| = |T|. La conversion de chaque solution en phase et en décibels produit un contour de l'abaque.

Cette construction explique aussi la déformation très marquée du réseau près de L = −1. Elle prépare l'étude des pics de réponse et des compromis de réglage. La stabilité ne se réduit toutefois pas à ces contours : elle exige de tenir compte du parcours du lieu et des propriétés de la boucle ouverte.