Bellavitis Giusto

Imaginez deux flèches tracées sur une feuille. Elles peuvent partir de points différents et rester équipollentes si elles ont la même longueur, suivent la même direction et pointent du même côté. Leur emplacement change, mais le déplacement représenté reste le même. C'est l'idée concrète qui prépare la notion de vecteur du plan. La méthode des équipollences de Bellavitis transforme ainsi des figures en objets que l'on peut comparer et combiner. Elle permet de raisonner sur un déplacement sans le confondre avec le segment particulier qui le représente.

Le mathématicien italien Giusto Bellavitis appelle équipollents deux segments orientés qui ont simultanément même longueur, même direction et même sens. Un segment orienté est un segment dont les extrémités sont distinctes et dont l'ordre distingue le départ de l'arrivée. La direction indique la droite à laquelle le segment est parallèle, tandis que le sens distingue les deux parcours possibles sur cette droite. Cette relation ne dépend pas de la position du segment dans le plan. Elle permet donc de représenter un même déplacement par plusieurs segments et préfigure le vecteur du plan. Si un déplacement est décrit par des coordonnées, sa composante horizontale et sa composante verticale restent les mêmes lorsqu'on translate le segment, ce qui donne une description opératoire indépendante du point de départ. Dans la Méthode des équipollences, publiée en 1830 selon la définition de référence, Bellavitis cherche à fonder un calcul opératoire sur les figures géométriques. La notion s'applique ainsi à la géométrie et possède aussi des applications en mathématiques pures et en physique. Le mot « vecteur » a été introduit ultérieurement par William Hamilton pour la notion moderne apparentée.

On compare deux segments orientés dans un repère dont l'unité de longueur est la même horizontalement et verticalement. Les données sont les suivantes : A(1, 4) et B(6, 1) pour le premier segment ; C(−3, 2) et D(2, −1) pour le second.

Le déplacement de A vers B a pour composantes (6 − 1, 1 − 4), donc (5, −3).
Le déplacement de C vers D a pour composantes (2 − (−3), −1 − 2), donc (5, −3).
Les deux déplacements ont les mêmes composantes ; ils ont donc même direction, même sens et même longueur.
Les segments AB et CD sont équipollents.
Le contrôle consiste à vérifier que l'écart entre les extrémités donne bien (5, −3) dans les deux cas.

Sur une figure géométrique, on peut déplacer une flèche parallèlement à elle-même pour comparer son déplacement avec celui d'une autre flèche. Le geste pertinent consiste à conserver sa longueur, sa direction et son sens.

Pour un calcul dans le plan, les coordonnées des extrémités permettent de comparer directement les composantes du déplacement. Cette représentation est préférable à une comparaison visuelle lorsque la figure est réduite ou dessinée sans échelle.

En physique, le calcul associé aux équipollences fournit une manière de travailler sur des grandeurs représentées par des déplacements. Le choix entre le dessin et les composantes dépend de ce que l'on doit établir : une relation visible ou une égalité calculable.

Un segment non orienté ne se compare pas de la même façon à un segment équipollent. Il possède une longueur et une direction de droite, mais l'ordre de ses extrémités n'y fixe pas un sens. Lorsque A≠B, le cas de A vers B et de B vers A tranche : les deux segments non orientés coïncident, tandis que les déplacements orientés ont des sens opposés et ne sont pas équipollents.

Un vecteur n'est pas seulement une flèche dessinée à un endroit donné. Plusieurs segments orientés peuvent représenter le même déplacement lorsqu'ils sont équipollents. Le critère testable est alors l'égalité des composantes, ou de manière géométrique la conservation de la longueur, de la direction et du sens.

Le sens est décisif. Si l'on inverse les extrémités d'un segment, sa longueur et sa direction restent inchangées, mais son sens devient opposé. Il ne faut donc pas conclure à l'équipollence à partir de la seule longueur ou d'un simple parallélisme.

Une comparaison visuelle peut tromper lorsque le dessin n'est pas à l'échelle. Deux segments qui semblent de même longueur doivent être contrôlés par leurs composantes ou par une mesure effectuée avec la même unité. À l'inverse, une translation du segment ne modifie pas le déplacement qu'il représente.

Enfin, l'équipollence concerne des segments orientés. Employer le mot pour deux segments sans préciser leur orientation laisse le sens indéterminé ; il faut alors expliciter l'ordre du départ et de l'arrivée avant de conclure.

Le glossaire Équipollence permet de prolonger cette fiche en examinant directement la relation entre segments orientés. Le lecteur y gagne un vocabulaire plus précis pour reconnaître le critère géométrique mobilisé par Bellavitis.

L'article Une notion affine inspirée par la physique ouvre un prolongement vers le rôle des représentations géométriques dans la physique. Le lecteur y gagne un contexte pour relier le calcul sur les figures aux usages évoqués dans la définition.