carré naturel
Un carré naturel d'ordre n est un tableau carré de n lignes et n colonnes dans lequel sont inscrits les entiers consécutifs de 1 à n², disposés ligne par ligne sans contrainte d'égalité des sommes. Il constitue la structure de départ — le « plan de base » — à partir de laquelle sont définis les carrés magiques et leurs nombreuses variantes. Il sert également de référence pour divers jeux et puzzles numériques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire le carré naturel d'ordre 3 en rangeant les entiers de 1 à 9.
- Retrouver la valeur d'une case à partir de sa ligne et de sa colonne.
- Vérifier que l'égalité des sommes n'est pas une condition du carré naturel.
- Distinguer un carré naturel d'un carré magique et d'un tableau carré quelconque.
En clair
Prenez neuf cases disposées en trois lignes et trois colonnes. Écrivez 1, 2 et 3 sur la première ligne, puis continuez jusqu'à 9. Vous obtenez le carré naturel d'ordre 3.
La grille sert de rangement de départ : chaque entier de 1 à 9 apparaît une fois, dans l'ordre de lecture. Elle n'impose pas que les lignes, les colonnes ou les diagonales aient la même somme.
Définition
L'ordre, noté n, désigne le nombre de lignes et aussi le nombre de colonnes. Pour un entier n strictement positif, la grille possède donc n2 cases. Le carré naturel contient chacun des entiers de 1 à n2, une seule fois, rangés ligne après ligne.
Si l'on numérote les lignes et les colonnes à partir de 1, le nombre placé à la ligne i et à la colonne j vaut . Dans le carré d'ordre 3, la case de la deuxième ligne et de la troisième colonne contient ainsi (2 − 1) × 3 + 3 = 6.
Cette organisation fixe un plan de base, mais aucune somme commune n'entre dans sa définition. Elle fournit notamment les nombres à réorganiser pour construire un carré magique, ainsi qu'une grille de référence pour des jeux et des puzzles numériques.
Un exemple, pas à pas
Construisons le carré naturel d'ordre 3. Les données sont trois lignes, trois colonnes et les neuf entiers consécutifs de 1 à 9.
1. Écrivez 1, 2, 3 sur la première ligne.
2. Poursuivez avec 4, 5, 6 sur la deuxième.
3. Terminez avec 7, 8, 9 sur la troisième.
2. Poursuivez avec 4, 5, 6 sur la deuxième.
3. Terminez avec 7, 8, 9 sur la troisième.
La grille obtenue possède bien 3 × 3 = 9 cases et chaque entier attendu apparaît exactement une fois. Le contrôle des sommes montre aussi ce que la définition n'exige pas : les lignes valent 6, 15 et 24, tandis que les colonnes valent 12, 15 et 18. Ces résultats ne sont pas tous égaux. La figure rend visibles à la fois l'ordre de lecture et cette différence de sommes.
En pratique
Pour préparer un carré magique normal, le carré naturel fournit l'inventaire des nombres à utiliser. On conserve 1 à n2, mais on choisit une autre disposition lorsque l'objectif porte sur l'égalité des sommes.
Dans un puzzle numérique, cette grille sert de position de référence. On la préfère à une disposition mélangée lorsqu'il faut identifier rapidement une case par son rang ou vérifier qu'aucun entier ne manque.
Pour tester une règle de déplacement ou de permutation, on part du carré naturel puis on suit le trajet de chaque nombre. Une autre grille convient mieux si les valeurs doivent se répéter ou ne pas être consécutives.
À ne pas confondre
Carré naturel et carré magique. Le premier range 1 à n2 ligne par ligne, sans condition sur les sommes. Dans le second, l'égalité de sommes constitue au contraire le critère à vérifier. Pour la grille d'ordre 3 contenant 1 à 9 dans l'ordre, les sommes de lignes 6, 15 et 24 tranchent immédiatement : ce carré naturel n'est pas magique.
Carré naturel et tableau carré quelconque. Avoir autant de lignes que de colonnes ne suffit pas. Une grille 3 × 3 où le nombre 2 apparaît deux fois n'est pas le carré naturel d'ordre 3, car chaque entier de 1 à 9 doit apparaître exactement une fois dans l'ordre de lecture.
Limites et pièges
Ordre non admissible. L'ordre compte des lignes et des colonnes : il doit être un entier strictement positif. Avec n = 0 ou n = 2,5, l'expression ne décrit pas la grille finie attendue ; il faut choisir un nombre entier de lignes et de colonnes.
Ordre 1. Le carré naturel se réduit à l'unique case contenant 1. Les sommes de sa ligne, de sa colonne et de ses diagonales coïncident automatiquement ; ce cas charnière ne doit pas faire croire que l'égalité des sommes définit tout carré naturel.
Ordre de lecture perdu. Une permutation de 1 à n2 remplit toujours toutes les cases sans répétition, mais elle n'est plus le plan ligne par ligne décrit ici. Pour retrouver la référence, replacez les entiers dans l'ordre croissant, de gauche à droite puis de haut en bas.
Pour aller plus loin
Le carré magique ajoute une contrainte de sommes au même ensemble d'entiers et permet de mesurer précisément ce que change leur réorganisation.
L'article Construire son premier carré magique prolonge cette base par une construction guidée que le lecteur peut reproduire.
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